算術平均數與幾何平均數2
②求這個函數的最小值可用哪些方法?能否用平均值定理求此函數的最小值?
(學生口答:利用函數的單調性或判別式法,也可用平均值定理.)
設計意圖:從學生熟悉的實際問題出發,激發學生應用數學知識解決問題的愛好,通過設問,引導和啟發學生用所學的平均值定理解決有關實際問題,引入課題.
(二)新課講授
嘗試探索、建立新知
(教師活動)教師打出字幕(課本例題1),引導學生研究和解決問題,幫助學生建立用平均值定理求函數最值的知識體系.
(學生活動)嘗試完成問題的論證,構建應用平均值定理求函數最值的方法.
[字幕]已知 都是正數,求證:
(1)假如積 是定值p,那么當 時,和 有最小值 ;
(2)假如和 是定值s,那么當 時,積 有最大值
證實:運用 ,證實(略).
[點評]
①(l)的結論即 ,(2)的結論即
②上述結論給出了一類函數求最值的方法,即平均值定理求最值法.
③應用平均值定理求最值要非凡注重:兩個變元都為正值;兩個變元之積(或和)為定值;當且僅當 ,這三個條件缺一不可,即“一正,二定,三相等”同時成立.
設計意圖:引導學生分析和研究問題,建立新知——應用平均值定理求最值的方法.
例題示范,學會應用
(教師活動)打出字幕(例題),引導學生分析問題,研究問題的解法.
(學生活動)分析、思考,嘗試解答問題.
[字幕]例題1 求函數 ( )的最小值,并求相應的 的值.
[分析]因為這個函數中的兩項不都是正數且 又 與的積也不是常數,所以不能直接用定理求解.但把函數變形為 后,正數 , 的積是常數1,可以用定理求得這個函數的最小值.
解: ,由 ,知 , ,且 .當且僅當 ,即 時, ( )有最小值,最小值是 。
[點評] 要正確理解 的意義,即方程 要有解,且解在定義域內.
[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為 4800 ,深為 3 m,假如池底每l 的造價為 150元,池壁每1 的造價為 120元,問怎樣設計水池能使總造價最低,最低總造價是多少元?
[分析] 設水池底面一邊的長為 m,水池的總造價為y,建立y關干 的函數.然后用定理求函數y的最小值.
解:設水池底面一邊的長度為 m,則另一邊的長度為 m,又設水池總造價為y元,根據題意,得
( )
所以
當 ,即 時,y有最小值297600.因此,當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低,最低總造價是 297600元.
設計意圖:加深理解應用平均值定理求最值的方法,學會應用平均值定理解決某些函數最值問題和實際問題,并把握分析變量的構建思想.培養學生用數學知識解決實際問題的能力,化歸的數學思想.
課堂練習