和圓有關的比例線段
教學建議
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.
難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.
2、教學建議
本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.
（1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題，逐步培養學生研究性學習意識，激發學生的學習熱情；
（2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.
第1課時：相交弦定理
教學目標：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；
2.學會作兩條已知線段的比例中項；
3.通過讓學生自己發現問題，調動學生的思維積極性，培養學生發現問題的能力和探索精神；
4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
教學重點：
正確理解相交弦定理及其推論.
教學難點：
在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
教學活動設計
（一）設置學習情境
1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動）
①引導學生觀察圖形，發現規律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.
②進一步得出：△APC∽△DPB.
.
③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?
組織學生觀察，并回答.
2、證明：
已知：弦AB和CD交于⊙O內一點P.
求證：PA·PB＝PC·PD.
（A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明；B、C層學生在老師引導下完成）
（證明略）
（二）定理及推論
1、相交弦定理： 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.
結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于點P，那么PA·PB＝PC·PD.
2、從一般到特殊，發現結論.
對兩條相交弦的位置進行適當的調整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且AB⊥CD于P.
提問：根據相交弦定理，能得到什么結論?
指出：PC2＝PA·PB.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.
推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2＝PA·PB.
若再連結AC，BC，則在圖中又出現了射影定理的基本圖形，于是有：
PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
（三）應用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.
例2 已知：線段a，b.
求作：線段c，使c2＝ab.
分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.
作法：口述作法.
反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.
變式練習：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣
練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的長.
練習3 如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OP⊥PC，PC 交⊙O于C. 求證：PC2＝PA·PB
引導學生分析：由AP·PB，聯想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC＝PD問題得證.
（四）小結
知識：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力；
思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
（五）作業
教材P132中 9，10；P134中B組4(1).
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