和圓有關的比例線段(一)
教學目標:1、使學生理解相交弦定理及其推論;2、初步學會運用相交弦定理及其推論;3、使學生學會作線段的比例中項.4、在推導定理的過程中培養學生由圖形總結出幾何性質的能力;5、在運用相交弦定理時,使學生清楚是運用幾何性質,代數解法解有關弦長計算問題,培養學生的綜合運用能力;教學重點: 使學生正確理解相交弦定理及其推論,這是以后學習中非常重要的定理. 教學難點:在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證明中發生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.而不能死記硬背,也不能只從形式上去認識定理,只知是線段的積,而對內容不加理解.教學過程:一、新課引入:前邊,我們已經學習了和圓有關的角,現在我們通過圓內一點引圓的兩條弦,它們之間又有什么關系呢?二、新課講解:實際上,它們之間存在著數量關系.不妨從⊙o內一點p引圓的兩條弦ab、cd,我們稱它們為相交弦,這時,各弦分別被p點分成二條線段,只要連結ac、db,我們馬上發現這四條線段在兩個三角形中,容易證得,這兩個三角形是相似的,于是得到了這四條線段的比例線段,轉化成乘積式后,便得到相交弦定理,教師指導學生觀察相交弦定理中的兩弦的位置是任意的,當兩弦的位置特殊時,會出現怎樣的情形呢?請同學打開練習本畫一畫.學生動手畫,教師巡視.當圖7-79三個圖形都出現后,教師指出,當p點重合于圓心o時,是兩條直徑的相交弦,結論是顯然的,并且沒有因為位置上的變化而發生形式上的變化.我們不研究這種情形,然后指導學生觀察圖7-79(3),這種特殊的位置:弦與直徑垂直相交,會給相交弦定理帶來怎樣形式上的改變呢?最終指導學生完成相交弦定理的推論及證明.1.相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段的積相等.2.如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.相交弦定理及其推論是和圓有關的比例線段中的兩個數量關系式,在今后學習中有著重要的意義,教師必須嚴格要求學生獨立完成定理的證明,加深對定理的理解.練習一,p.126中1.如圖7-80,ap=3cm,pb=5cm,cp=2.5cm,求cd.(答案:8.5cm)
練習二,教材p.126中2,如圖7-81,o是圓心,op⊥ab, ap=4cm,pd=2cm.求op.(答案:3cm)
此兩題是直接運用定理或推論.p.125例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12cm和16cm兩段,第二條弦的長為32cm,求第二條弦被交點分成的兩段的長.分析,這是一道利用相交弦定理的計算題,由于無圖對照,在敘述時務必講清第幾條弦,在由相交弦定理列出方程后,解一元二次方程只作為其中一個步驟.做答案時要特別注意,對x1、x2的解釋,以防止最終出現兩解.解法參照教材p.126.p126例2 已知:線段a、b求作:線端 c,使c2=ab
分析題目,可將三條線段的數量關系轉化為相交弦定理的推論.若線段c作出來,它將與線段a、b在圓中構成弦與直徑垂直相交的位置關系.這時學生對作法心中有數,最終教師指導學生完成作圖.作法參照教材p.126.