和圓有關的比例線段（精選9篇）

和圓有關的比例線段 篇1

　　教學目標：1、使學生理解相交弦定理及其推論；2、初步學會運用相交弦定理及其推論；3、使學生學會作線段的比例中項.4、在推導定理的過程中培養學生由圖形總結出幾何性質的能力；5、在運用相交弦定理時，使學生清楚是運用幾何性質，代數解法解有關弦長計算問題，培養學生的綜合運用能力；教學重點： 使學生正確理解相交弦定理及其推論，這是以后學習中非常重要的定理. 教學難點：在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.而不能死記硬背，也不能只從形式上去認識定理，只知是線段的積，而對內容不加理解.教學過程：一、新課引入：前邊，我們已經學習了和圓有關的角，現在我們通過圓內一點引圓的兩條弦，它們之間又有什么關系呢？二、新課講解：實際上，它們之間存在著數量關系.不妨從⊙o內一點p引圓的兩條弦ab、cd，我們稱它們為相交弦，這時，各弦分別被p點分成二條線段，只要連結ac、db，我們馬上發現這四條線段在兩個三角形中，容易證得，這兩個三角形是相似的，于是得到了這四條線段的比例線段，轉化成乘積式后，便得到相交弦定理，教師指導學生觀察相交弦定理中的兩弦的位置是任意的，當兩弦的位置特殊時，會出現怎樣的情形呢？請同學打開練習本畫一畫.學生動手畫，教師巡視.

　　當圖7-79三個圖形都出現后，教師指出，當p點重合于圓心o時，是兩條直徑的相交弦，結論是顯然的，并且沒有因為位置上的變化而發生形式上的變化.我們不研究這種情形，然后指導學生觀察圖7-79(3)，這種特殊的位置：弦與直徑垂直相交，會給相交弦定理帶來怎樣形式上的改變呢？最終指導學生完成相交弦定理的推論及證明.1.相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段的積相等.2.如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.相交弦定理及其推論是和圓有關的比例線段中的兩個數量關系式，在今后學習中有著重要的意義，教師必須嚴格要求學生獨立完成定理的證明，加深對定理的理解.練習一，p.126中1.如圖7-80，ap=3cm，pb=5cm，cp=2.5cm，求cd.(答案：8.5cm)

　　練習二，教材p.126中2，如圖7-81，o是圓心，op⊥ab，  ap=4cm，pd=2cm.求op.(答案：3cm)

　　此兩題是直接運用定理或推論.p.125例1  已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12cm和16cm兩段，第二條弦的長為32cm，求第二條弦被交點分成的兩段的長.分析，這是一道利用相交弦定理的計算題，由于無圖對照，在敘述時務必講清第幾條弦，在由相交弦定理列出方程后，解一元二次方程只作為其中一個步驟.做答案時要特別注意，對x1、x2的解釋，以防止最終出現兩解.解法參照教材p.126.p126例2  已知：線段a、b求作：線端  c，使c2=ab

　　分析題目，可將三條線段的數量關系轉化為相交弦定理的推論.若線段c作出來，它將與線段a、b在圓中構成弦與直徑垂直相交的位置關系.這時學生對作法心中有數，最終教師指導學生完成作圖.作法參照教材p.126.三、課堂小結：指導學生閱讀教材p.125—p.126.培養學生的讀書習慣，并總結出本課的主要內容：1.相交弦定理及其推論是圓中重要的比例線段，它反映了圓中兩條相交弦的數量關系.推論是定理的特殊情形.二者只是形式上的不同，實質上都是一樣的.需要指出的是相交弦定理涉及到四條線段，而它的推論涉及到三條線段.2.本節例1是利用相交弦定理進行計算，它是圓的有關計算題的重要部分.3.本節例2是運用相交弦定理的推論作圖題，這是初中階段務必要掌握的作圖題之一，務必向學生講清.四、布置作業1.教材p.132中9；p.133中14

和圓有關的比例線段 篇2

　　教學建議

　　1、教材分析

　　(1)知識結構

　　(2)重點、難點分析

　　重點:相交弦定理及其推論,切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點,而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識,主要應用與圓有關的計算和證實.

　　難點:正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多,學生輕易混淆.

　　2、教學建議

　　本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論,做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論,做例3.第3課時是習題課,講例4并做有關的練3.

　　(1)教師通過教學,組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題,逐步培養學生研究性學習意識,激發學生的學習熱情;

　　(2)在教學中,引導學生“觀察——猜想——證實——應用”等學習,教師組織下,以學生為主體開展教學活動.

　　第1課時:相交弦定理

　　教學目標:

　　1.理解相交弦定理及其推論,并初步會運用它們進行有關的簡單證實和計算;

　　2.學會作兩條已知線段的比例中項;

　　3.通過讓學生自己發現問題,調動學生的思維積極性,培養學生發現問題的能力和探索精神;

　　4.通過推論的推導,向學生滲透由一般到非凡的思想方法.

　　教學重點:

　　正確理解相交弦定理及其推論.

　　教學難點:

　　在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證實中發生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證實過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.

　　教學活動設計

　　(一)設置學習情境

　　1、圖形變換:(利用電腦使ab與cd弦變動)

　　①引導學生觀察圖形,發現規律:∠a=∠d,∠c=∠b.

　　②進一步得出:△apc∽△dpb.

　　.

　　③假如將圖形做些變換,去掉ac和bd,圖中線段 pa,pb,pc,po之間的關系會發生變化嗎?為什么?

　　組織學生觀察,并回答.

　　2、證實:

　　已知:弦ab和cd交于⊙o內一點p.

　　求證:pa·pb=pc·pd.

　　(a層學生要練習學生寫出已知、求證、證實;b、c層學生在老師引導下完成)

　　(證實略)

　　(二)定理及推論

　　1、相交弦定理: 圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.

　　結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理:在⊙o中;弦ab,cd相交于點p,那么pa·pb=pc·pd.

　　2、從一般到非凡,發現結論.

　　對兩條相交弦的位置進行適當的調整,使其中一條是直徑,并且它們互 相垂直如圖,ab是直徑,并且ab⊥cd于p.

　　提問:根據相交弦定理,能得到什么結論?

　　指出:pc2=pa·pb.

　　請學生用文字語言將這一結論敘述出來,假如敘述不完全、不準確.教師糾正,并板書.

　　推論 假如弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.

　　3、深刻理解推論:由于圓是軸對稱圖形,上述結論又可敘述為:半圓上一點c向直徑ab作垂線,垂足是p,則pc2=pa·pb.

　　若再連結ac,bc,則在圖中又出現了射影定理的基本圖形,于是有:

　　pc2=pa·pb ;ac2=ap·ab;cb2=bp·ab

　　(三)應用、反思

　　例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段,第二條弦的長為32厘米,求第二條弦被交點分成的兩段的長.

　　引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.

　　例2 已知:線段a,b.

　　求作:線段c,使c2=ab.

　　分析:這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式,因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓,仿照推論即可作出要求作的線段.

　　作法:口述作法.

　　反思:這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題,可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.

　　練習1 如圖,ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp=1厘米,求cd.

　　變式練習:若ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp,dp的長度皆為整數.那么cd的長度是 多少?

　　將條件隱化,增加難度,提高學生學習愛好

　　練習2 如圖,cd是⊙o的直徑,ab⊥cd,垂足為p,ap=4厘米,pd=2厘米.求po的長.

　　練習3 如圖:在⊙o中,p是弦ab上一點,op⊥pc,pc 交⊙o于c. 求證:pc2=pa·pb

　　引導學生分析:由ap·pb,聯想到相交弦定理,于是想到延長 cp交⊙o于d,于是有pc·pd=pa·pb.又根據條件op⊥pc.易 證得pc=pd問題得證.

　　(四)小結

　　知識:相交弦定理及其推論;

　　能力:作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力;

　　思想方法:學習了由一般到非凡(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.

　　(五)作業

　　教材p132中 9,10;p134中b組4(1).

　　第2課時 切割線定理

　　教學目標:

　　1.把握切割線定理及其推論,并初步學會運用它們進行計算和證實;

　　2.把握構造相似三角形證實切割線定理的方法與技巧,培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力

　　3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論,培養學生辯證唯物主義的觀點.

　　教學重點:

　　理解切割線定理及其推論,它是以后學習中經常用到的重要定理.

　　教學難點:

　　定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.

　　教學活動設計

　　(一)提出問題

　　1、引出問題:相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.假如兩弦延長交于圓外一點p,那么該點到割線與圓交點的四條線段pa,pb,pc,pd的長之間有什么關系?(如圖1)

　　當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時,由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長pa,pb,pt之間又有什么關系?

　　2、猜想:引導學生猜想出圖中三條線段pt,pa,pb間的關系為pt2=pa·pb.

　　3、證實:

　　讓學生根據圖2寫出已知、求證,并進行分析、證實猜想.

　　分析:要證pt2=pa·pb, 可以證實,為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt,bp為邊的三角形相似,于是考慮作輔助線tp,pb.(圖3).輕易證實∠pta=∠b又∠p=∠p,因此△bpt∽△tpa,于是問題可證.

　　4、引導學生用語言表達上述結論.

　　切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

　　(二)切割線定理的推論

　　1、再提出問題:當pb、pd為兩條割線時,線段pa,pb,pc,pd之間有什么關系?

　　觀察圖4,提出猜想:pa·pb=pc·pd.

　　2、組織學生用多種方法證實:

　　方法一:要證pa·pb=pc·pd,可證此可證以pa,pc為邊的三角形和以pd,pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線ac,bd,輕易證實∠pac=∠d,∠p=∠p,因此△pac∽△pdb. (如圖4)

　　方法二:要證,還可考慮證實以pa,pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線ad、cb.輕易證實∠b=∠d,又∠p=∠p. 因此△pad∽△pcb.(如圖5)

　　方法三:引導學生再次觀察圖2,立即會發現.pt2=pa·pb,同時pt2=pc·pd,于是可以得出pa·pb=pc·pd.pa·pb=pc·pd

　　推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)

　　(三)初步應用

　　例1 已知:如圖6,⊙o的割線pab交⊙o于點a和b,pa=6厘米,ab=8厘米, po=10.9厘米,求⊙o的半徑.

　　分析:由于po既不是⊙o的切線也不是割線,故須將po延長交⊙o于d,構成了圓的一條割線,而od又恰好是⊙o的半徑,于是運用切割線定理的推論,問題得解.

　　(解略)教師示范解題.

　　例2 已知如圖7,線段ab和⊙o交于點c,d,ac=bd,ae,bf分別切⊙o于點e,f,

　　求證:ae=bf.

　　分析:要證實的兩條線段ae,bf均與⊙o相切,且從a、b 兩點出發引的割線acd和bdc在同一直線上,且ac=bd,ad=bc. 因此它們的積相等,問題得證.

　　學生自主完成,教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤,如ae2=ac·cd和bf2=bd·dc等.

　　鞏固練習:p128練習1、2題

　　(四)小結

　　知識:切割線定理及推論;

　　能力:結合具體圖形時,應能寫出正確的等積式;

　　方法:在證實切割線定理和推論時,所用的構造相似三角形的方法十分重要,應注重很好地把握.

　　(五)作業教材p132中,11、12題.

　　探究活動

　　最佳射門位置

　　國際足聯規定法國世界杯決賽階段,比賽場地長105米,寬68米,足球門寬7.32米,高2.44米,試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).

　　分析與解 如圖1所示.ab是足球門,點p是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置,即向p上方或下方移動,視角都變小,因此點p實際上是過a、b且與邊線相切的圓的切點,如圖1所示.即op是圓的切線,而ob是圓的割線.

　　故 ,又 ,

　　ob=30.34 7.32=37.66.

　　op= (米).

　　注:上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.

和圓有關的比例線段 篇3

　　教學目標：1、使學生理解切割線定理及其推論；2、使學生初步學會運用切割線定理及其推論.3、通過對切割線定理及推論的證明，培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力；4、通過對切割線定理及其推論的初步運用，培養學生的分析問題能力.在上節我們曾經學到相交弦定理及其推論，它反映了圓中兩弦的數量關系；我們可以用同樣的方法來研究圓的一條切線和一條割線的數量關系.教學重點： 使學生理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經常用到的重要定理.教學難點：學生不能準確敘述切割線定理及其推論，針對具體圖形學生很容易得到數量關系，但把它用語言表達，學生感到困難.教學過程：一、新課引入：我們已經學過相交弦定理及其推論，現在我們用同樣的數學思想方法來研究圓的另外的比例線段.二、新課講解：現在請同學們在練習本上畫⊙o，在⊙o外一點p引⊙o的切線pt，切點為t，割線pba，以點p、b、a、t為頂點作三角形，可以作幾個三角形呢？它們中是否存在著相似三角形？如果存在，你得到了怎樣的比例線段？可轉化成怎樣的積式？現在請同學們打開練習本，按要求作⊙o的切線pt和割線pba，后研究討論一下.學生動手畫圖，完成證明，教師巡視，當所有學生都得到數量關系式時，教師打開計算機或幻燈機用動畫演示.最終教師指導學生把數量關系轉成語言敘述，完成切割線定理及其推論.1.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.關系式：pt2=pa·pb

　　2.切割線定理推論：從圓外一點引圓的兩條割線.這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.數量關系式：pa·pb=pc·pb.

　　切割線定理及其推論也是圓中的比例線段，在今后的學習中有著重要的意義，務必使學生清楚，真正弄懂切割線定理的數量關系后，再把握定理敘述中的“從”、“引”、“切線長”、“兩條線段長”等關鍵字樣，定理敘述并不困難.練習一，p.128中1、選擇題：如圖7-86，⊙o的兩條弦ab、cd相交于點e，ac和db的延長線交于點p，下列結論成立的是                                                                               [    ]

　　a.pc·ca=pb·bdb.ce·ae=be·edc.ce·cd=be·bad.pb·pd=pc·pa答案：(d)，直接運用和圓有關的比例線段進行選擇.練習二，p.128中2、如圖7-87，已知：rt△abc的兩條直角邊ac、bc的長分別為3cm、4cm，以ac為直徑作圓與斜邊ab交于點d，求bd的長.

　　此題已知rt△abc中的邊ac、bc，則ab可知.容易證出bc切⊙o于c，于是產生切割線定理，bd可求.練習三，p.128中3.如圖7-88，線段ab和⊙o交于c、d，ac=bd，ae、bf分別切⊙o于e、f.求證：ae=bf.

　　本題可直接運用切割線定理.例3  p.127，如圖7-89，已知：⊙o的割線pab交⊙o于點a和b，pa=6cm，ab=8cm，po=10.9cm.求⊙o的半徑.

　　此題要通過計算得到⊙o的半徑，必須使半徑進入一個數量關系式，觀察圖形，可知只要延長po與圓交于另一點，則可產生切割線定理的推論，而其中一條割線恰好經過圓心，在線段中自然可以參與進半徑，從而由等式中求出半徑.必須使學生清楚這種數學思想方法，結合圖形，正確使用和圓有關的比例線段，則關系式中必有兩條線段是半徑的代數式構成，只要解關于半徑的一元二次方程即可.解：設⊙o的半徑為r，po和它的長延長線交⊙o于c、d.(10.9-r)(10.9+r)=6×14r=5.9(取正數解)答：⊙o的半徑為5.9.三、課堂小結：為培養學生閱讀教材的習慣，讓學生看教材p.127—p.128.總結出本課主要內容：1.切割線定理及其推論：它是圓的重要比例線段，它反映的是圓的切線和割線所產生的數量關系.需要指出的是，只有從圓外一點，才可能產生切割線定理或推論.切割線定理是指一條切線和一條割線；推論是指兩條割線，只有使學生弄清前提，才能正確運用定理.2.通過對例3的分析，我們應該掌握這類問題的思想方法，掌握規律、運用規律.四、布置作業：1.教材  p.132中10；2.p.132中11.

和圓有關的比例線段 篇4

　　教學建議

　　1、教材分析

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.

　　難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.

　　2、教學建議

　　本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.

　　（1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題，逐步培養學生研究性學習意識，激發學生的學習熱情；

　　（2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.

　　第1課時：相交弦定理

　　教學目標 ：

　　1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；

　　2.學會作兩條已知線段的比例中項；

　　3.通過讓學生自己發現問題，調動學生的思維積極性，培養學生發現問題的能力和探索精神；

　　4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.

　　教學重點：

　　正確理解相交弦定理及其推論.

　　教學難點 ：

　　在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.

　　教學活動設計

　　（一）設置學習情境

　　1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動）

　　①引導學生觀察圖形，發現規律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.

　　②進一步得出：△APC∽△DPB.

　　.

　　③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?

　　組織學生觀察，并回答.

　　2、證明：

　　已知：弦AB和CD交于⊙O內一點P.

　　求證：PA·PB＝PC·PD.

　　（A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明；B、C層學生在老師引導下完成）

　　（證明略）

　　（二）定理及推論

　　1、相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

　　結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于點P，那么PA·PB＝PC·PD.

　　2、從一般到特殊，發現結論.

　　對兩條相交弦的位置進行適當的調整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且AB⊥CD于P.

　　提問：根據相交弦定理，能得到什么結論?

　　指出：PC2＝PA·PB.

　　請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.

　　推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.

　　3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2＝PA·PB. 

　　若再連結AC，BC，則在圖中又出現了射影定理的基本圖形，于是有：

　　PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB

　　（三）應用、反思

　　例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.

　　引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.

　　例2  已知：線段a，b.

　　求作：線段c，使c2＝ab.

　　分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.

　　作法：口述作法.

　　反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.

　　練習1 如圖，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.

　　變式練習：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?

　　將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣

　　練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的長.

　　練習3  如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OP⊥PC，PC 交⊙O于C.  求證：PC2＝PA·PB 

　　引導學生分析：由AP·PB，聯想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC＝PD問題得證.

　　（四）小結

　　知識：相交弦定理及其推論；

　　能力：作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力；

　　思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.

　　（五）作業 

　　教材P132中 9，10；P134中B組4(1).

　　第2課時 切割線定理

　　教學目標 ：

　　1.掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明；

　　2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力

　　3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論，培養學生辯證唯物主義的觀點.

　　教學重點：

　　理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經常用到的重要定理.

　　教學難點 ：

　　定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.

　　教學活動設計

　　（一）提出問題

　　1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.如果兩弦延長交于圓外一點P，那么該點到割線與圓交點的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什么關系？(如圖1)

　　當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA，PB，PT之間又有什么關系？

　　2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關系為PT2=PA·PB.

　　3、證明：

　　讓學生根據圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.

　　分析：要證PT2=PA·PB，  可以證明，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB.(圖3).容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是問題可證.

　　4、引導學生用語言表達上述結論.

　　切割線定理  從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

　　（二）切割線定理的推論

　　1、再提出問題：當PB、PD為兩條割線時，線段PA，PB，PC，PD之間有什么關系?

　　觀察圖4，提出猜想：PA·PB=PC·PD.

　　2、組織學生用多種方法證明：

　　方法一：要證PA·PB=PC·PD，可證此可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB.  (如圖4)

　　方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明∠B=∠D，又∠P=∠P.  因此△PAD∽△PCB.(如圖5)

　　方法三：引導學生再次觀察圖2，立即會發現.PT2=PA·PB，同時PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD

　　推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.（也叫做割線定理）

　　（三）初步應用

　　例1  已知：如圖6，⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半徑.

　　分析：由于PO既不是⊙O的切線也不是割線，故須將PO延長交⊙O于D，構成了圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.

　　（解略）教師示范解題.

　　例2  已知如圖7，線段AB和⊙O交于點C，D，AC＝BD，AE，BF分別切⊙O于點E，F，

　　求證：AE＝BF.

　　分析：要證明的兩條線段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上，且AC＝BD，AD＝BC.  因此它們的積相等，問題得證.

　　學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等.

　　鞏固練習：P128練習1、2題  

　　（四）小結

　　知識：切割線定理及推論；

　　能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式；

　　方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.

　　（五）作業 教材P132中，11、12題.

　　探究活動

　　最佳射門位置

　　國際足聯規定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).

　　分析與解 如圖1所示.AB是足球門，點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向P上方或下方移動，視角都變小，因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即OP是圓的切線，而OB是圓的割線.

　　故 ，又 ，

　　OB=30.34+7.32＝37.66.

　　OP=(米).

　　注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角.

和圓有關的比例線段 篇5

　　教學建議

　　1、教材分析

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.

　　難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.

　　2、教學建議

　　本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.

　　（1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題，逐步培養學生研究性學習意識，激發學生的學習熱情；

　　（2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.

　　第1課時：相交弦定理

　　教學目標 ：

　　1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；

　　2.學會作兩條已知線段的比例中項；

　　3.通過讓學生自己發現問題，調動學生的思維積極性，培養學生發現問題的能力和探索精神；

　　4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.

　　教學重點：

　　正確理解相交弦定理及其推論.

　　教學難點 ：

　　在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.

　　教學活動設計

　　（一）設置學習情境

　　1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動）

　　①引導學生觀察圖形，發現規律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.

　　②進一步得出：△APC∽△DPB.

　　.

　　③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?

　　組織學生觀察，并回答.

　　2、證明：

　　已知：弦AB和CD交于⊙O內一點P.

　　求證：PA·PB＝PC·PD.

　　（A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明；B、C層學生在老師引導下完成）

　　（證明略）

　　（二）定理及推論

　　1、相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

　　結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于點P，那么PA·PB＝PC·PD.

　　2、從一般到特殊，發現結論.

　　對兩條相交弦的位置進行適當的調整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且AB⊥CD于P.

　　提問：根據相交弦定理，能得到什么結論?

　　指出：PC2＝PA·PB.

　　請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.

　　推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.

　　3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2＝PA·PB. 

　　若再連結AC，BC，則在圖中又出現了射影定理的基本圖形，于是有：

　　PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB

　　（三）應用、反思

　　例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.

　　引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.

　　例2  已知：線段a，b.

　　求作：線段c，使c2＝ab.

　　分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.

　　作法：口述作法.

　　反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.

　　練習1 如圖，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.

　　變式練習：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?

　　將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣

　　練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的長.

　　練習3  如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OP⊥PC，PC 交⊙O于C.  求證：PC2＝PA·PB 

　　引導學生分析：由AP·PB，聯想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC＝PD問題得證.

　　（四）小結

　　知識：相交弦定理及其推論；

　　能力：作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力；

　　思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.

　　（五）作業 

　　教材P132中 9，10；P134中B組4(1).

　　第2課時 切割線定理

　　教學目標 ：

　　1.掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明；

　　2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力

　　3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論，培養學生辯證唯物主義的觀點.

　　教學重點：

　　理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經常用到的重要定理.

　　教學難點 ：

　　定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.

　　教學活動設計

　　（一）提出問題

　　1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.如果兩弦延長交于圓外一點P，那么該點到割線與圓交點的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什么關系？(如圖1)

　　當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA，PB，PT之間又有什么關系？

　　2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關系為PT2=PA·PB.

　　3、證明：

　　讓學生根據圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.

　　分析：要證PT2=PA·PB，  可以證明，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB.(圖3).容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是問題可證.

　　4、引導學生用語言表達上述結論.

　　切割線定理  從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

　　（二）切割線定理的推論

　　1、再提出問題：當PB、PD為兩條割線時，線段PA，PB，PC，PD之間有什么關系?

　　觀察圖4，提出猜想：PA·PB=PC·PD.

　　2、組織學生用多種方法證明：

　　方法一：要證PA·PB=PC·PD，可證此可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB.  (如圖4)

　　方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明∠B=∠D，又∠P=∠P.  因此△PAD∽△PCB.(如圖5)

　　方法三：引導學生再次觀察圖2，立即會發現.PT2=PA·PB，同時PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD

　　推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.（也叫做割線定理）

　　（三）初步應用

　　例1  已知：如圖6，⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半徑.

　　分析：由于PO既不是⊙O的切線也不是割線，故須將PO延長交⊙O于D，構成了圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.

　　（解略）教師示范解題.

　　例2  已知如圖7，線段AB和⊙O交于點C，D，AC＝BD，AE，BF分別切⊙O于點E，F，

　　求證：AE＝BF.

　　分析：要證明的兩條線段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上，且AC＝BD，AD＝BC.  因此它們的積相等，問題得證.

　　學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等.

　　鞏固練習：P128練習1、2題  

　　（四）小結

　　知識：切割線定理及推論；

　　能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式；

　　方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.

　　（五）作業 教材P132中，11、12題.

　　探究活動

　　最佳射門位置

　　國際足聯規定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).

　　分析與解 如圖1所示.AB是足球門，點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向P上方或下方移動，視角都變小，因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即OP是圓的切線，而OB是圓的割線.

　　故 ，又 ，

　　OB=30.34+7.32＝37.66.

　　OP= (米).

　　注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角.

和圓有關的比例線段 篇6

　　教學建議

　　1、教材分析

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.

　　難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.

　　2、教學建議

　　本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.

　　（1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題，逐步培養學生研究性學習意識，激發學生的學習熱情；

　　（2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.

　　第1課時：相交弦定理

　　教學目標 ：

　　1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；

　　2.學會作兩條已知線段的比例中項；

　　3.通過讓學生自己發現問題，調動學生的思維積極性，培養學生發現問題的能力和探索精神；

　　4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.

　　教學重點：

　　正確理解相交弦定理及其推論.

　　教學難點 ：

　　在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.

　　教學活動設計

　　（一）設置學習情境

　　1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動）

　　①引導學生觀察圖形，發現規律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.

　　②進一步得出：△APC∽△DPB.

　　.

　　③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?

　　組織學生觀察，并回答.

　　2、證明：

　　已知：弦AB和CD交于⊙O內一點P.

　　求證：PA·PB＝PC·PD.

　　（A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明；B、C層學生在老師引導下完成）

　　（證明略）

　　（二）定理及推論

　　1、相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

　　結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于點P，那么PA·PB＝PC·PD.

　　2、從一般到特殊，發現結論.

　　對兩條相交弦的位置進行適當的調整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且AB⊥CD于P.

　　提問：根據相交弦定理，能得到什么結論?

　　指出：PC2＝PA·PB.

　　請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.

　　推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.

　　3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2＝PA·PB. 

　　若再連結AC，BC，則在圖中又出現了射影定理的基本圖形，于是有：

　　PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB

　　（三）應用、反思

　　例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.

　　引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.

　　例2  已知：線段a，b.

　　求作：線段c，使c2＝ab.

　　分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.

　　作法：口述作法.

　　反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.

　　練習1 如圖，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.

　　變式練習：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?

　　將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣

　　練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的長.

　　練習3  如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OP⊥PC，PC 交⊙O于C.  求證：PC2＝PA·PB 

　　引導學生分析：由AP·PB，聯想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC＝PD問題得證.

　　（四）小結

　　知識：相交弦定理及其推論；

　　能力：作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力；

　　思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.

　　（五）作業 

　　教材P132中 9，10；P134中B組4(1).

　　第2課時 切割線定理

　　教學目標 ：

　　1.掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明；

　　2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力

　　3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論，培養學生辯證唯物主義的觀點.

　　教學重點：

　　理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經常用到的重要定理.

　　教學難點 ：

　　定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.

　　教學活動設計

　　（一）提出問題

　　1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.如果兩弦延長交于圓外一點P，那么該點到割線與圓交點的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什么關系？(如圖1)

　　當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA，PB，PT之間又有什么關系？

　　2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關系為PT2=PA·PB.

　　3、證明：

　　讓學生根據圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.

　　分析：要證PT2=PA·PB，  可以證明，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB.(圖3).容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是問題可證.

　　4、引導學生用語言表達上述結論.

　　切割線定理  從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

　　（二）切割線定理的推論

　　1、再提出問題：當PB、PD為兩條割線時，線段PA，PB，PC，PD之間有什么關系?

　　觀察圖4，提出猜想：PA·PB=PC·PD.

　　2、組織學生用多種方法證明：

　　方法一：要證PA·PB=PC·PD，可證此可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB.  (如圖4)

　　方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明∠B=∠D，又∠P=∠P.  因此△PAD∽△PCB.(如圖5)

　　方法三：引導學生再次觀察圖2，立即會發現.PT2=PA·PB，同時PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD

　　推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.（也叫做割線定理）

　　（三）初步應用

　　例1  已知：如圖6，⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半徑.

　　分析：由于PO既不是⊙O的切線也不是割線，故須將PO延長交⊙O于D，構成了圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.

　　（解略）教師示范解題.

　　例2  已知如圖7，線段AB和⊙O交于點C，D，AC＝BD，AE，BF分別切⊙O于點E，F，

　　求證：AE＝BF.

　　分析：要證明的兩條線段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上，且AC＝BD，AD＝BC.  因此它們的積相等，問題得證.

　　學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等.

　　鞏固練習：P128練習1、2題  

　　（四）小結

　　知識：切割線定理及推論；

　　能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式；

　　方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.

　　（五）作業 教材P132中，11、12題.

　　探究活動

　　最佳射門位置

　　國際足聯規定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).

　　分析與解 如圖1所示.AB是足球門，點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向P上方或下方移動，視角都變小，因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即OP是圓的切線，而OB是圓的割線.

　　故 ，又 ，

　　OB=30.34+7.32＝37.66.

　　OP= (米).

　　注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角.

和圓有關的比例線段 篇7

　　教學建議

　　1、教材分析

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.

　　難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.

　　2、教學建議

　　本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.

　　（1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題，逐步培養學生研究性學習意識，激發學生的學習熱情；

　　（2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.

　　第1課時：相交弦定理

　　教學目標：

　　1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；

　　2.學會作兩條已知線段的比例中項；

　　3.通過讓學生自己發現問題，調動學生的思維積極性，培養學生發現問題的能力和探索精神；

　　4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.

　　教學重點：

　　正確理解相交弦定理及其推論.

　　教學難點：

　　在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.

　　教學活動設計

　　（一）設置學習情境

　　1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動）

　　①引導學生觀察圖形，發現規律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.

　　②進一步得出：△APC∽△DPB.

　　.

　　③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?

　　組織學生觀察，并回答.

　　2、證明：

　　已知：弦AB和CD交于⊙O內一點P.

　　求證：PA·PB＝PC·PD.

　　（A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明；B、C層學生在老師引導下完成）

　　（證明略）

　　（二）定理及推論

　　1、相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

　　結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于點P，那么PA·PB＝PC·PD.

　　2、從一般到特殊，發現結論.

　　對兩條相交弦的位置進行適當的調整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且AB⊥CD于P.

　　提問：根據相交弦定理，能得到什么結論?

　　指出：PC2＝PA·PB.

　　請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.

　　推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.

　　3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2＝PA·PB. 

　　若再連結AC，BC，則在圖中又出現了射影定理的基本圖形，于是有：

　　PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB

　　（三）應用、反思

　　例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.

　　引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.

　　例2  已知：線段a，b.

　　求作：線段c，使c2＝ab.

　　分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.

　　作法：口述作法.

　　反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.

　　練習1 如圖，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.

　　變式練習：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?

　　將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣

　　練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的長.

　　練習3  如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OP⊥PC，PC 交⊙O于C.  求證：PC2＝PA·PB 

　　引導學生分析：由AP·PB，聯想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC＝PD問題得證.

　　（四）小結

　　知識：相交弦定理及其推論；

　　能力：作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力；

　　思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.

　　（五）作業 

　　教材P132中 9，10；P134中B組4(1).

　　第2課時 切割線定理

　　教學目標：

　　1.掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明；

　　2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力

　　3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論，培養學生辯證唯物主義的觀點.

　　教學重點：

　　理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經常用到的重要定理.

　　教學難點：

　　定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.

　　教學活動設計

　　（一）提出問題

　　1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.如果兩弦延長交于圓外一點P，那么該點到割線與圓交點的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什么關系？(如圖1)

　　當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA，PB，PT之間又有什么關系？

　　2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關系為PT2=PA·PB.

　　3、證明：

　　讓學生根據圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.

　　分析：要證PT2=PA·PB，  可以證明，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB.(圖3).容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是問題可證.

　　4、引導學生用語言表達上述結論.

　　切割線定理  從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

　　（二）切割線定理的推論

　　1、再提出問題：當PB、PD為兩條割線時，線段PA，PB，PC，PD之間有什么關系?

　　觀察圖4，提出猜想：PA·PB=PC·PD.

　　2、組織學生用多種方法證明：

　　方法一：要證PA·PB=PC·PD，可證此可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB.  (如圖4)

　　方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明∠B=∠D，又∠P=∠P.  因此△PAD∽△PCB.(如圖5)

　　方法三：引導學生再次觀察圖2，立即會發現.PT2=PA·PB，同時PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD

　　推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.（也叫做割線定理）

　　（三）初步應用

　　例1  已知：如圖6，⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半徑.

　　分析：由于PO既不是⊙O的切線也不是割線，故須將PO延長交⊙O于D，構成了圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.

　　（解略）教師示范解題.

　　例2  已知如圖7，線段AB和⊙O交于點C，D，AC＝BD，AE，BF分別切⊙O于點E，F，

　　求證：AE＝BF.

　　分析：要證明的兩條線段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上，且AC＝BD，AD＝BC.  因此它們的積相等，問題得證.

　　學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等.

　　鞏固練習：P128練習1、2題  

　　（四）小結

　　知識：切割線定理及推論；

　　能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式；

　　方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.

　　（五）作業 教材P132中，11、12題.

　　探究活動

　　最佳射門位置

　　國際足聯規定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足球門寬7.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).

　　分析與解 如圖1所示.AB是足球門，點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向P上方或下方移動，視角都變小，因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即OP是圓的切線，而OB是圓的割線.

　　故 ，又 ，

　　OB=30.34+7.32＝37.66.

　　OP=(米).

　　注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角.

和圓有關的比例線段 篇8

　　教學建議

　　1、教材分析

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.

　　難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.

　　2、教學建議

　　本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.

　　（1）教師通過教學，組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題，逐步培養學生研究性學習意識，激發學生的學習熱情；

　　（2）在教學中，引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.

　　第1課時：相交弦定理

　　教學目標：

　　1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算；

　　2.學會作兩條已知線段的比例中項；

　　3.通過讓學生自己發現問題，調動學生的思維積極性，培養學生發現問題的能力和探索精神；

　　4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.

　　教學重點：

　　正確理解相交弦定理及其推論.

　　教學難點：

　　在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.

　　教學活動設計

　　（一）設置學習情境

　　1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動）

　　①引導學生觀察圖形，發現規律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.

　　②進一步得出：△APC∽△DPB.

　　.

　　③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?

　　組織學生觀察，并回答.

　　2、證明：

　　已知：弦AB和CD交于⊙O內一點P.

　　求證：PA·PB＝PC·PD.

　　（A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明；B、C層學生在老師引導下完成）

　　（證明略）

　　（二）定理及推論

　　1、相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

　　結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于點P，那么PA·PB＝PC·PD.

　　2、從一般到特殊，發現結論.

　　對兩條相交弦的位置進行適當的調整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且AB⊥CD于P.

　　提問：根據相交弦定理，能得到什么結論?

　　指出：PC2＝PA·PB.

　　請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.

　　推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.

　　3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2＝PA·PB. 

　　若再連結AC，BC，則在圖中又出現了射影定理的基本圖形，于是有：

　　PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB

　　（三）應用、反思

　　例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.

　　引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.

　　例2  已知：線段a，b.

　　求作：線段c，使c2＝ab.

　　分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.

　　作法：口述作法.

　　反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.

　　練習1 如圖，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.

　　變式練習：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?

　　將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣

　　練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的長.

　　練習3  如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OP⊥PC，PC 交⊙O于C.  求證：PC2＝PA·PB 

　　引導學生分析：由AP·PB，聯想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC＝PD問題得證.

　　（四）小結

　　知識：相交弦定理及其推論；

　　能力：作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力；

　　思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.

　　（五）作業 

　　教材P132中 9，10；P134中B組4(1).

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和圓有關的比例線段 篇9

　　教學目標：1、使學生能在證題或計算中熟練應用和圓有關的比線段.2、培養學生對知識的綜合運用.3、訓練學生注意新舊知識的結合，不斷提高綜合運用知識的能力；4、學會分析一些基本圖形的結構及其所具有的關系式；5、善于總結一些常見類型的題目的解法和常用的添加輔助線的方法.教學重點： 指導學生分析好題目，找出正確的解題思路.教學難點：將和圓有關的比例線段結合原有知識的過程中，學生的分析不到位，很容易對題目產生無從入手的感覺.教學過程：一、新課引入：我們已經學習了和圓有關的比例線段，現在我們將綜合這一部分知識，結合原有知識解決一些幾何問題. 在證明線段相等、角相等、線段成比例等問題中，相交弦定理和切割線定理同切線長定理、弦切角定理一樣重要.這兩個定理并不難掌握，由于習題的綜合性，故對于一些知識點較多、運用知識較靈活的習題中，大家證起來往往感到困難，因此除了復習好原有知識外，更重要的是搞好題目分析，這是證題關鍵.就本課p.129例4，指導學生搞好題目分析，并完成證明.二、新課講解：p.129例4如圖7-90，兩個以o為圓心的同心圓，ab切大圓于b，ac切小圓于c，交大圓于d、e.ab=12，ao=15，ad=8.求：兩圓的半徑.

　　分析：題目要求的圓半徑顯然應該連結過切點的半徑ob、oc.由切線的性質知∠abo=∠aco=rt∠，因此ob，oc分別是rt△的一邊，利用勾股定理計算是最直接了當的了.(1)在rt△abo中，已知ab、ao，故bo可求.(2)oc在rt△aco中，僅知道ao的長，必須得求出ac，才可以求oc.ac是大⊙o的割線ade的一部分.ac=ad=dc，ad已知，只所以應該先求ae.在大⊙o中，由切割線定理：ab2=ad·ae，ae可求，則dc可求，ac可求，從而oc可求.解：連結ob、oc.練習一，p.130中1、如圖7-91，p為⊙o外一點，op與⊙o交于點a，割線pbc與⊙o交于點b、c，且pb=bc.如圖oa=7，pa=2，求pc的長.

　　此題中op經過圓心o，屬于切割線定理的一種基本圖形.輔助線是延長po交⊙o于d，由于半徑oa已知，所以pd已知，而已知pb=bc，則由切割線定理的推論，可先求出pb，pc亦可求.解：延長po交⊙o于d.pbc、pad都是⊙o的割線pb·2pb=2×16pc=8練習二，p.130中2.已知：如圖7-92，⊙o和⊙o′都經過a和b，pq切⊙o于p，交⊙o′于q、m，交ab的延長線于n.求證：pn2=nm·nq.

　　觀察圖形，要證的數量關系中，線段屬于不同的兩圓，np是⊙o的切線，nmq是⊙o′的割線，能夠把這兩條線聯系在一起的是兩圓的公共割線nba.具備了在兩圓中運用切割線定理及其推論的條件.練習三，如圖7-93，四邊形abcd內接于⊙o，ab長7cm，cd=10cm，ad∶bc=1∶2，延長ba、cd相交于e，從e引圓的切線ef.求ef的長.

　　此題中ef是⊙o的切線，由切割線定理：ef2=ed·ec=ea·eb，故要求ef的長，須知ed或ea的長，而四邊形abcd內接于⊙o，可eb長為2x，應用割線定理，可求得x，于是ef可求.證明：四邊形abcd內接于⊙o△ead∽△ecbeb=2(x+10)=(2x-7)·2=8ef2=8×(8+10)ef=12答：ef長為12cm.三、課堂小結：讓學生閱讀p.129例4，并就本節內容總結出以下幾點：1.要經常復習學過的知識，把新舊知識結合起來，不斷提高綜合運用知識的能力.2.學習例題時，不要就題論題，而是注重研究思路、體會和掌握方法，學會分析問題和解決問題的一般方法.3.學會分析一些基本圖形的結構及所具有的基本關系式.4.總結規律：本課練習3以方程的思想方法為指導，利用代數方法，即通過方程或方程組的求解解決所求問題，設未知數時，可直接或間接設，本題屬于間接設.列方程或方程組時，尋求已知量與未知量之間的關系.而幾何定理是列方程的根據.本題方程是根據割線定理列出.四、布置作業：1.教材p133中12、13. 2. p.133至p.134中1、2、3、4、5.