和圓有關的比例線段(精選9篇)
和圓有關的比例線段 篇1
教學目標:1、使學生理解相交弦定理及其推論;2、初步學會運用相交弦定理及其推論;3、使學生學會作線段的比例中項.4、在推導定理的過程中培養學生由圖形總結出幾何性質的能力;5、在運用相交弦定理時,使學生清楚是運用幾何性質,代數解法解有關弦長計算問題,培養學生的綜合運用能力;教學重點: 使學生正確理解相交弦定理及其推論,這是以后學習中非常重要的定理. 教學難點:在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證明中發生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.而不能死記硬背,也不能只從形式上去認識定理,只知是線段的積,而對內容不加理解.教學過程:一、新課引入:前邊,我們已經學習了和圓有關的角,現在我們通過圓內一點引圓的兩條弦,它們之間又有什么關系呢?二、新課講解:實際上,它們之間存在著數量關系.不妨從⊙o內一點p引圓的兩條弦ab、cd,我們稱它們為相交弦,這時,各弦分別被p點分成二條線段,只要連結ac、db,我們馬上發現這四條線段在兩個三角形中,容易證得,這兩個三角形是相似的,于是得到了這四條線段的比例線段,轉化成乘積式后,便得到相交弦定理,教師指導學生觀察相交弦定理中的兩弦的位置是任意的,當兩弦的位置特殊時,會出現怎樣的情形呢?請同學打開練習本畫一畫.學生動手畫,教師巡視.
當圖7-79三個圖形都出現后,教師指出,當p點重合于圓心o時,是兩條直徑的相交弦,結論是顯然的,并且沒有因為位置上的變化而發生形式上的變化.我們不研究這種情形,然后指導學生觀察圖7-79(3),這種特殊的位置:弦與直徑垂直相交,會給相交弦定理帶來怎樣形式上的改變呢?最終指導學生完成相交弦定理的推論及證明.1.相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段的積相等.2.如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.相交弦定理及其推論是和圓有關的比例線段中的兩個數量關系式,在今后學習中有著重要的意義,教師必須嚴格要求學生獨立完成定理的證明,加深對定理的理解.練習一,p.126中1.如圖7-80,ap=3cm,pb=5cm,cp=2.5cm,求cd.(答案:8.5cm)
練習二,教材p.126中2,如圖7-81,o是圓心,op⊥ab, ap=4cm,pd=2cm.求op.(答案:3cm)
此兩題是直接運用定理或推論.p.125例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12cm和16cm兩段,第二條弦的長為32cm,求第二條弦被交點分成的兩段的長.分析,這是一道利用相交弦定理的計算題,由于無圖對照,在敘述時務必講清第幾條弦,在由相交弦定理列出方程后,解一元二次方程只作為其中一個步驟.做答案時要特別注意,對x1、x2的解釋,以防止最終出現兩解.解法參照教材p.126.p126例2 已知:線段a、b求作:線端 c,使c2=ab
分析題目,可將三條線段的數量關系轉化為相交弦定理的推論.若線段c作出來,它將與線段a、b在圓中構成弦與直徑垂直相交的位置關系.這時學生對作法心中有數,最終教師指導學生完成作圖.作法參照教材p.126.三、課堂小結:指導學生閱讀教材p.125—p.126.培養學生的讀書習慣,并總結出本課的主要內容:1.相交弦定理及其推論是圓中重要的比例線段,它反映了圓中兩條相交弦的數量關系.推論是定理的特殊情形.二者只是形式上的不同,實質上都是一樣的.需要指出的是相交弦定理涉及到四條線段,而它的推論涉及到三條線段.2.本節例1是利用相交弦定理進行計算,它是圓的有關計算題的重要部分.3.本節例2是運用相交弦定理的推論作圖題,這是初中階段務必要掌握的作圖題之一,務必向學生講清.四、布置作業1.教材p.132中9;p.133中14
和圓有關的比例線段 篇2
教學建議
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點:相交弦定理及其推論,切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點,而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識,主要應用與圓有關的計算和證實.
難點:正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多,學生輕易混淆.
2、教學建議
本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論,做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論,做例3.第3課時是習題課,講例4并做有關的練3.
(1)教師通過教學,組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題,逐步培養學生研究性學習意識,激發學生的學習熱情;
(2)在教學中,引導學生“觀察——猜想——證實——應用”等學習,教師組織下,以學生為主體開展教學活動.
第1課時:相交弦定理
教學目標:
1.理解相交弦定理及其推論,并初步會運用它們進行有關的簡單證實和計算;
2.學會作兩條已知線段的比例中項;
3.通過讓學生自己發現問題,調動學生的思維積極性,培養學生發現問題的能力和探索精神;
4.通過推論的推導,向學生滲透由一般到非凡的思想方法.
教學重點:
正確理解相交弦定理及其推論.
教學難點:
在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證實中發生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證實過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
教學活動設計
(一)設置學習情境
1、圖形變換:(利用電腦使ab與cd弦變動)
①引導學生觀察圖形,發現規律:∠a=∠d,∠c=∠b.
②進一步得出:△apc∽△dpb.
.
③假如將圖形做些變換,去掉ac和bd,圖中線段 pa,pb,pc,po之間的關系會發生變化嗎?為什么?
組織學生觀察,并回答.
2、證實:
已知:弦ab和cd交于⊙o內一點p.
求證:pa·pb=pc·pd.
(a層學生要練習學生寫出已知、求證、證實;b、c層學生在老師引導下完成)
(證實略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理: 圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.
結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理:在⊙o中;弦ab,cd相交于點p,那么pa·pb=pc·pd.
2、從一般到非凡,發現結論.
對兩條相交弦的位置進行適當的調整,使其中一條是直徑,并且它們互 相垂直如圖,ab是直徑,并且ab⊥cd于p.
提問:根據相交弦定理,能得到什么結論?
指出:pc2=pa·pb.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來,假如敘述不完全、不準確.教師糾正,并板書.
推論 假如弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.
3、深刻理解推論:由于圓是軸對稱圖形,上述結論又可敘述為:半圓上一點c向直徑ab作垂線,垂足是p,則pc2=pa·pb.
若再連結ac,bc,則在圖中又出現了射影定理的基本圖形,于是有:
pc2=pa·pb ;ac2=ap·ab;cb2=bp·ab
(三)應用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段,第二條弦的長為32厘米,求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.
例2 已知:線段a,b.
求作:線段c,使c2=ab.
分析:這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式,因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓,仿照推論即可作出要求作的線段.
作法:口述作法.
反思:這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題,可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖,ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp=1厘米,求cd.
變式練習:若ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp,dp的長度皆為整數.那么cd的長度是 多少?
將條件隱化,增加難度,提高學生學習愛好
練習2 如圖,cd是⊙o的直徑,ab⊥cd,垂足為p,ap=4厘米,pd=2厘米.求po的長.
練習3 如圖:在⊙o中,p是弦ab上一點,op⊥pc,pc 交⊙o于c. 求證:pc2=pa·pb
引導學生分析:由ap·pb,聯想到相交弦定理,于是想到延長 cp交⊙o于d,于是有pc·pd=pa·pb.又根據條件op⊥pc.易 證得pc=pd問題得證.
(四)小結
知識:相交弦定理及其推論;
能力:作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力;
思想方法:學習了由一般到非凡(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
(五)作業
教材p132中 9,10;p134中b組4(1).
第2課時 切割線定理
教學目標:
1.把握切割線定理及其推論,并初步學會運用它們進行計算和證實;
2.把握構造相似三角形證實切割線定理的方法與技巧,培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論,培養學生辯證唯物主義的觀點.
教學重點:
理解切割線定理及其推論,它是以后學習中經常用到的重要定理.
教學難點:
定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.
教學活動設計
(一)提出問題
1、引出問題:相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.假如兩弦延長交于圓外一點p,那么該點到割線與圓交點的四條線段pa,pb,pc,pd的長之間有什么關系?(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時,由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長pa,pb,pt之間又有什么關系?
2、猜想:引導學生猜想出圖中三條線段pt,pa,pb間的關系為pt2=pa·pb.
3、證實:
讓學生根據圖2寫出已知、求證,并進行分析、證實猜想.
分析:要證pt2=pa·pb, 可以證實,為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt,bp為邊的三角形相似,于是考慮作輔助線tp,pb.(圖3).輕易證實∠pta=∠b又∠p=∠p,因此△bpt∽△tpa,于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
(二)切割線定理的推論
1、再提出問題:當pb、pd為兩條割線時,線段pa,pb,pc,pd之間有什么關系?
觀察圖4,提出猜想:pa·pb=pc·pd.
2、組織學生用多種方法證實:
方法一:要證pa·pb=pc·pd,可證此可證以pa,pc為邊的三角形和以pd,pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線ac,bd,輕易證實∠pac=∠d,∠p=∠p,因此△pac∽△pdb. (如圖4)
方法二:要證,還可考慮證實以pa,pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線ad、cb.輕易證實∠b=∠d,又∠p=∠p. 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三:引導學生再次觀察圖2,立即會發現.pt2=pa·pb,同時pt2=pc·pd,于是可以得出pa·pb=pc·pd.pa·pb=pc·pd
推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)
(三)初步應用
例1 已知:如圖6,⊙o的割線pab交⊙o于點a和b,pa=6厘米,ab=8厘米, po=10.9厘米,求⊙o的半徑.
分析:由于po既不是⊙o的切線也不是割線,故須將po延長交⊙o于d,構成了圓的一條割線,而od又恰好是⊙o的半徑,于是運用切割線定理的推論,問題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7,線段ab和⊙o交于點c,d,ac=bd,ae,bf分別切⊙o于點e,f,
求證:ae=bf.
分析:要證實的兩條線段ae,bf均與⊙o相切,且從a、b 兩點出發引的割線acd和bdc在同一直線上,且ac=bd,ad=bc. 因此它們的積相等,問題得證.
學生自主完成,教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤,如ae2=ac·cd和bf2=bd·dc等.
鞏固練習:p128練習1、2題
(四)小結
知識:切割線定理及推論;
能力:結合具體圖形時,應能寫出正確的等積式;
方法:在證實切割線定理和推論時,所用的構造相似三角形的方法十分重要,應注重很好地把握.
(五)作業教材p132中,11、12題.
探究活動
最佳射門位置
國際足聯規定法國世界杯決賽階段,比賽場地長105米,寬68米,足球門寬7.32米,高2.44米,試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 如圖1所示.ab是足球門,點p是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置,即向p上方或下方移動,視角都變小,因此點p實際上是過a、b且與邊線相切的圓的切點,如圖1所示.即op是圓的切線,而ob是圓的割線.
故 ,又 ,
ob=30.34 7.32=37.66.
op= (米).
注:上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
和圓有關的比例線段 篇3
教學目標:1、使學生理解切割線定理及其推論;2、使學生初步學會運用切割線定理及其推論.3、通過對切割線定理及推論的證明,培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力;4、通過對切割線定理及其推論的初步運用,培養學生的分析問題能力.在上節我們曾經學到相交弦定理及其推論,它反映了圓中兩弦的數量關系;我們可以用同樣的方法來研究圓的一條切線和一條割線的數量關系.教學重點: 使學生理解切割線定理及其推論,它是以后學習中經常用到的重要定理.教學難點:學生不能準確敘述切割線定理及其推論,針對具體圖形學生很容易得到數量關系,但把它用語言表達,學生感到困難.教學過程:一、新課引入:我們已經學過相交弦定理及其推論,現在我們用同樣的數學思想方法來研究圓的另外的比例線段.二、新課講解:現在請同學們在練習本上畫⊙o,在⊙o外一點p引⊙o的切線pt,切點為t,割線pba,以點p、b、a、t為頂點作三角形,可以作幾個三角形呢?它們中是否存在著相似三角形?如果存在,你得到了怎樣的比例線段?可轉化成怎樣的積式?現在請同學們打開練習本,按要求作⊙o的切線pt和割線pba,后研究討論一下.學生動手畫圖,完成證明,教師巡視,當所有學生都得到數量關系式時,教師打開計算機或幻燈機用動畫演示.最終教師指導學生把數量關系轉成語言敘述,完成切割線定理及其推論.1.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.關系式:pt2=pa·pb
2.切割線定理推論:從圓外一點引圓的兩條割線.這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.數量關系式:pa·pb=pc·pb.
切割線定理及其推論也是圓中的比例線段,在今后的學習中有著重要的意義,務必使學生清楚,真正弄懂切割線定理的數量關系后,再把握定理敘述中的“從”、“引”、“切線長”、“兩條線段長”等關鍵字樣,定理敘述并不困難.練習一,p.128中1、選擇題:如圖7-86,⊙o的兩條弦ab、cd相交于點e,ac和db的延長線交于點p,下列結論成立的是 [ ]
a.pc·ca=pb·bdb.ce·ae=be·edc.ce·cd=be·bad.pb·pd=pc·pa答案:(d),直接運用和圓有關的比例線段進行選擇.練習二,p.128中2、如圖7-87,已知:rt△abc的兩條直角邊ac、bc的長分別為3cm、4cm,以ac為直徑作圓與斜邊ab交于點d,求bd的長.
此題已知rt△abc中的邊ac、bc,則ab可知.容易證出bc切⊙o于c,于是產生切割線定理,bd可求.練習三,p.128中3.如圖7-88,線段ab和⊙o交于c、d,ac=bd,ae、bf分別切⊙o于e、f.求證:ae=bf.
本題可直接運用切割線定理.例3 p.127,如圖7-89,已知:⊙o的割線pab交⊙o于點a和b,pa=6cm,ab=8cm,po=10.9cm.求⊙o的半徑.
此題要通過計算得到⊙o的半徑,必須使半徑進入一個數量關系式,觀察圖形,可知只要延長po與圓交于另一點,則可產生切割線定理的推論,而其中一條割線恰好經過圓心,在線段中自然可以參與進半徑,從而由等式中求出半徑.必須使學生清楚這種數學思想方法,結合圖形,正確使用和圓有關的比例線段,則關系式中必有兩條線段是半徑的代數式構成,只要解關于半徑的一元二次方程即可.解:設⊙o的半徑為r,po和它的長延長線交⊙o于c、d.(10.9-r)(10.9+r)=6×14r=5.9(取正數解)答:⊙o的半徑為5.9.三、課堂小結:為培養學生閱讀教材的習慣,讓學生看教材p.127—p.128.總結出本課主要內容:1.切割線定理及其推論:它是圓的重要比例線段,它反映的是圓的切線和割線所產生的數量關系.需要指出的是,只有從圓外一點,才可能產生切割線定理或推論.切割線定理是指一條切線和一條割線;推論是指兩條割線,只有使學生弄清前提,才能正確運用定理.2.通過對例3的分析,我們應該掌握這類問題的思想方法,掌握規律、運用規律.四、布置作業:1.教材 p.132中10;2.p.132中11.
和圓有關的比例線段 篇4
教學建議
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點:相交弦定理及其推論,切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點,而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識,主要應用與圓有關的計算和證明.
難點:正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多,學生容易混淆.
2、教學建議
本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論,做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論,做例3.第3課時是習題課,講例4并做有關的練3.
(1)教師通過教學,組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題,逐步培養學生研究性學習意識,激發學生的學習熱情;
(2)在教學中,引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習,教師組織下,以學生為主體開展教學活動.
第1課時:相交弦定理
教學目標 :
1.理解相交弦定理及其推論,并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算;
2.學會作兩條已知線段的比例中項;
3.通過讓學生自己發現問題,調動學生的思維積極性,培養學生發現問題的能力和探索精神;
4.通過推論的推導,向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
教學重點:
正確理解相交弦定理及其推論.
教學難點 :
在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證明中發生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
教學活動設計
(一)設置學習情境
1、圖形變換:(利用電腦使AB與CD弦變動)
①引導學生觀察圖形,發現規律:∠A=∠D,∠C=∠B.
②進一步得出:△APC∽△DPB.
.
③如果將圖形做些變換,去掉AC和BD,圖中線段 PA,PB,PC,PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?
組織學生觀察,并回答.
2、證明:
已知:弦AB和CD交于⊙O內一點P.
求證:PA·PB=PC·PD.
(A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明;B、C層學生在老師引導下完成)
(證明略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.
結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于點P,那么PA·PB=PC·PD.
2、從一般到特殊,發現結論.
對兩條相交弦的位置進行適當的調整,使其中一條是直徑,并且它們互 相垂直如圖,AB是直徑,并且AB⊥CD于P.
提問:根據相交弦定理,能得到什么結論?
指出:PC2=PA·PB.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來,如果敘述不完全、不準確.教師糾正,并板書.
推論 如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.
3、深刻理解推論:由于圓是軸對稱圖形,上述結論又可敘述為:半圓上一點C向直徑AB作垂線,垂足是P,則PC2=PA·PB.
若再連結AC,BC,則在圖中又出現了射影定理的基本圖形,于是有:
PC2=PA·PB ;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB
(三)應用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段,第二條弦的長為32厘米,求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.
例2 已知:線段a,b.
求作:線段c,使c2=ab.
分析:這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式,因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓,仿照推論即可作出要求作的線段.
作法:口述作法.
反思:這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題,可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.
變式練習:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?
將條件隱化,增加難度,提高學生學習興趣
練習2 如圖,CD是⊙O的直徑,AB⊥CD,垂足為P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的長.
練習3 如圖:在⊙O中,P是弦AB上一點,OP⊥PC,PC 交⊙O于C. 求證:PC2=PA·PB
引導學生分析:由AP·PB,聯想到相交弦定理,于是想到延長 CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC=PD問題得證.
(四)小結
知識:相交弦定理及其推論;
能力:作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力;
思想方法:學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
(五)作業
教材P132中 9,10;P134中B組4(1).
第2課時 切割線定理
教學目標 :
1.掌握切割線定理及其推論,并初步學會運用它們進行計算和證明;
2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧,培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論,培養學生辯證唯物主義的觀點.
教學重點:
理解切割線定理及其推論,它是以后學習中經常用到的重要定理.
教學難點 :
定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.
教學活動設計
(一)提出問題
1、引出問題:相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.如果兩弦延長交于圓外一點P,那么該點到割線與圓交點的四條線段PA,PB,PC,PD的長之間有什么關系?(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時,由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA,PB,PT之間又有什么關系?
2、猜想:引導學生猜想出圖中三條線段PT,PA,PB間的關系為PT2=PA·PB.
3、證明:
讓學生根據圖2寫出已知、求證,并進行分析、證明猜想.
分析:要證PT2=PA·PB, 可以證明,為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT,BP為邊的三角形相似,于是考慮作輔助線TP,PB.(圖3).容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P,因此△BPT∽△TPA,于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
(二)切割線定理的推論
1、再提出問題:當PB、PD為兩條割線時,線段PA,PB,PC,PD之間有什么關系?
觀察圖4,提出猜想:PA·PB=PC·PD.
2、組織學生用多種方法證明:
方法一:要證PA·PB=PC·PD,可證此可證以PA,PC為邊的三角形和以PD,PB為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線AC,BD,容易證明∠PAC=∠D,∠P=∠P,因此△PAC∽△PDB. (如圖4)
方法二:要證,還可考慮證明以PA,PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明∠B=∠D,又∠P=∠P. 因此△PAD∽△PCB.(如圖5)
方法三:引導學生再次觀察圖2,立即會發現.PT2=PA·PB,同時PT2=PC·PD,于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)
(三)初步應用
例1 已知:如圖6,⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B,PA=6厘米,AB=8厘米, PO=10.9厘米,求⊙O的半徑.
分析:由于PO既不是⊙O的切線也不是割線,故須將PO延長交⊙O于D,構成了圓的一條割線,而OD又恰好是⊙O的半徑,于是運用切割線定理的推論,問題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7,線段AB和⊙O交于點C,D,AC=BD,AE,BF分別切⊙O于點E,F,
求證:AE=BF.
分析:要證明的兩條線段AE,BF均與⊙O相切,且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上,且AC=BD,AD=BC. 因此它們的積相等,問題得證.
學生自主完成,教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤,如AE2=AC·CD和BF2=BD·DC等.
鞏固練習:P128練習1、2題
(四)小結
知識:切割線定理及推論;
能力:結合具體圖形時,應能寫出正確的等積式;
方法:在證明切割線定理和推論時,所用的構造相似三角形的方法十分重要,應注意很好地掌握.
(五)作業 教材P132中,11、12題.
探究活動
最佳射門位置
國際足聯規定法國世界杯決賽階段,比賽場地長105米,寬68米,足蠣趴?.32米,高2.44米,試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 如圖1所示.AB是足球門,點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置,即向P上方或下方移動,視角都變小,因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點,如圖1所示.即OP是圓的切線,而OB是圓的割線.
故 ,又 ,
OB=30.34+7.32=37.66.
OP=(米).
注:上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角.
和圓有關的比例線段 篇5
教學建議
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點:相交弦定理及其推論,切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點,而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識,主要應用與圓有關的計算和證明.
難點:正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多,學生容易混淆.
2、教學建議
本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論,做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論,做例3.第3課時是習題課,講例4并做有關的練3.
(1)教師通過教學,組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題,逐步培養學生研究性學習意識,激發學生的學習熱情;
(2)在教學中,引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習,教師組織下,以學生為主體開展教學活動.
第1課時:相交弦定理
教學目標 :
1.理解相交弦定理及其推論,并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算;
2.學會作兩條已知線段的比例中項;
3.通過讓學生自己發現問題,調動學生的思維積極性,培養學生發現問題的能力和探索精神;
4.通過推論的推導,向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
教學重點:
正確理解相交弦定理及其推論.
教學難點 :
在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證明中發生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
教學活動設計
(一)設置學習情境
1、圖形變換:(利用電腦使AB與CD弦變動)
①引導學生觀察圖形,發現規律:∠A=∠D,∠C=∠B.
②進一步得出:△APC∽△DPB.
.
③如果將圖形做些變換,去掉AC和BD,圖中線段 PA,PB,PC,PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?
組織學生觀察,并回答.
2、證明:
已知:弦AB和CD交于⊙O內一點P.
求證:PA·PB=PC·PD.
(A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明;B、C層學生在老師引導下完成)
(證明略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.
結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于點P,那么PA·PB=PC·PD.
2、從一般到特殊,發現結論.
對兩條相交弦的位置進行適當的調整,使其中一條是直徑,并且它們互 相垂直如圖,AB是直徑,并且AB⊥CD于P.
提問:根據相交弦定理,能得到什么結論?
指出:PC2=PA·PB.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來,如果敘述不完全、不準確.教師糾正,并板書.
推論 如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.
3、深刻理解推論:由于圓是軸對稱圖形,上述結論又可敘述為:半圓上一點C向直徑AB作垂線,垂足是P,則PC2=PA·PB.
若再連結AC,BC,則在圖中又出現了射影定理的基本圖形,于是有:
PC2=PA·PB ;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB
(三)應用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段,第二條弦的長為32厘米,求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.
例2 已知:線段a,b.
求作:線段c,使c2=ab.
分析:這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式,因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓,仿照推論即可作出要求作的線段.
作法:口述作法.
反思:這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題,可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.
變式練習:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?
將條件隱化,增加難度,提高學生學習興趣
練習2 如圖,CD是⊙O的直徑,AB⊥CD,垂足為P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的長.
練習3 如圖:在⊙O中,P是弦AB上一點,OP⊥PC,PC 交⊙O于C. 求證:PC2=PA·PB
引導學生分析:由AP·PB,聯想到相交弦定理,于是想到延長 CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC=PD問題得證.
(四)小結
知識:相交弦定理及其推論;
能力:作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力;
思想方法:學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
(五)作業
教材P132中 9,10;P134中B組4(1).
第2課時 切割線定理
教學目標 :
1.掌握切割線定理及其推論,并初步學會運用它們進行計算和證明;
2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧,培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論,培養學生辯證唯物主義的觀點.
教學重點:
理解切割線定理及其推論,它是以后學習中經常用到的重要定理.
教學難點 :
定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.
教學活動設計
(一)提出問題
1、引出問題:相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.如果兩弦延長交于圓外一點P,那么該點到割線與圓交點的四條線段PA,PB,PC,PD的長之間有什么關系?(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時,由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA,PB,PT之間又有什么關系?
2、猜想:引導學生猜想出圖中三條線段PT,PA,PB間的關系為PT2=PA·PB.
3、證明:
讓學生根據圖2寫出已知、求證,并進行分析、證明猜想.
分析:要證PT2=PA·PB, 可以證明,為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT,BP為邊的三角形相似,于是考慮作輔助線TP,PB.(圖3).容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P,因此△BPT∽△TPA,于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
(二)切割線定理的推論
1、再提出問題:當PB、PD為兩條割線時,線段PA,PB,PC,PD之間有什么關系?
觀察圖4,提出猜想:PA·PB=PC·PD.
2、組織學生用多種方法證明:
方法一:要證PA·PB=PC·PD,可證此可證以PA,PC為邊的三角形和以PD,PB為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線AC,BD,容易證明∠PAC=∠D,∠P=∠P,因此△PAC∽△PDB. (如圖4)
方法二:要證,還可考慮證明以PA,PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明∠B=∠D,又∠P=∠P. 因此△PAD∽△PCB.(如圖5)
方法三:引導學生再次觀察圖2,立即會發現.PT2=PA·PB,同時PT2=PC·PD,于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)
(三)初步應用
例1 已知:如圖6,⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B,PA=6厘米,AB=8厘米, PO=10.9厘米,求⊙O的半徑.
分析:由于PO既不是⊙O的切線也不是割線,故須將PO延長交⊙O于D,構成了圓的一條割線,而OD又恰好是⊙O的半徑,于是運用切割線定理的推論,問題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7,線段AB和⊙O交于點C,D,AC=BD,AE,BF分別切⊙O于點E,F,
求證:AE=BF.
分析:要證明的兩條線段AE,BF均與⊙O相切,且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上,且AC=BD,AD=BC. 因此它們的積相等,問題得證.
學生自主完成,教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤,如AE2=AC·CD和BF2=BD·DC等.
鞏固練習:P128練習1、2題
(四)小結
知識:切割線定理及推論;
能力:結合具體圖形時,應能寫出正確的等積式;
方法:在證明切割線定理和推論時,所用的構造相似三角形的方法十分重要,應注意很好地掌握.
(五)作業 教材P132中,11、12題.
探究活動
最佳射門位置
國際足聯規定法國世界杯決賽階段,比賽場地長105米,寬68米,足蠣趴?.32米,高2.44米,試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 如圖1所示.AB是足球門,點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置,即向P上方或下方移動,視角都變小,因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點,如圖1所示.即OP是圓的切線,而OB是圓的割線.
故 ,又 ,
OB=30.34+7.32=37.66.
OP= (米).
注:上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角.
和圓有關的比例線段 篇6
教學建議
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點:相交弦定理及其推論,切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點,而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識,主要應用與圓有關的計算和證明.
難點:正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多,學生容易混淆.
2、教學建議
本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論,做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論,做例3.第3課時是習題課,講例4并做有關的練3.
(1)教師通過教學,組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題,逐步培養學生研究性學習意識,激發學生的學習熱情;
(2)在教學中,引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習,教師組織下,以學生為主體開展教學活動.
第1課時:相交弦定理
教學目標 :
1.理解相交弦定理及其推論,并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算;
2.學會作兩條已知線段的比例中項;
3.通過讓學生自己發現問題,調動學生的思維積極性,培養學生發現問題的能力和探索精神;
4.通過推論的推導,向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
教學重點:
正確理解相交弦定理及其推論.
教學難點 :
在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證明中發生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
教學活動設計
(一)設置學習情境
1、圖形變換:(利用電腦使AB與CD弦變動)
①引導學生觀察圖形,發現規律:∠A=∠D,∠C=∠B.
②進一步得出:△APC∽△DPB.
.
③如果將圖形做些變換,去掉AC和BD,圖中線段 PA,PB,PC,PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?
組織學生觀察,并回答.
2、證明:
已知:弦AB和CD交于⊙O內一點P.
求證:PA·PB=PC·PD.
(A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明;B、C層學生在老師引導下完成)
(證明略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.
結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于點P,那么PA·PB=PC·PD.
2、從一般到特殊,發現結論.
對兩條相交弦的位置進行適當的調整,使其中一條是直徑,并且它們互 相垂直如圖,AB是直徑,并且AB⊥CD于P.
提問:根據相交弦定理,能得到什么結論?
指出:PC2=PA·PB.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來,如果敘述不完全、不準確.教師糾正,并板書.
推論 如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.
3、深刻理解推論:由于圓是軸對稱圖形,上述結論又可敘述為:半圓上一點C向直徑AB作垂線,垂足是P,則PC2=PA·PB.
若再連結AC,BC,則在圖中又出現了射影定理的基本圖形,于是有:
PC2=PA·PB ;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB
(三)應用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段,第二條弦的長為32厘米,求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.
例2 已知:線段a,b.
求作:線段c,使c2=ab.
分析:這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式,因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓,仿照推論即可作出要求作的線段.
作法:口述作法.
反思:這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題,可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.
變式練習:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?
將條件隱化,增加難度,提高學生學習興趣
練習2 如圖,CD是⊙O的直徑,AB⊥CD,垂足為P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的長.
練習3 如圖:在⊙O中,P是弦AB上一點,OP⊥PC,PC 交⊙O于C. 求證:PC2=PA·PB
引導學生分析:由AP·PB,聯想到相交弦定理,于是想到延長 CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC=PD問題得證.
(四)小結
知識:相交弦定理及其推論;
能力:作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力;
思想方法:學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
(五)作業
教材P132中 9,10;P134中B組4(1).
第2課時 切割線定理
教學目標 :
1.掌握切割線定理及其推論,并初步學會運用它們進行計算和證明;
2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧,培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論,培養學生辯證唯物主義的觀點.
教學重點:
理解切割線定理及其推論,它是以后學習中經常用到的重要定理.
教學難點 :
定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.
教學活動設計
(一)提出問題
1、引出問題:相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.如果兩弦延長交于圓外一點P,那么該點到割線與圓交點的四條線段PA,PB,PC,PD的長之間有什么關系?(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時,由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA,PB,PT之間又有什么關系?
2、猜想:引導學生猜想出圖中三條線段PT,PA,PB間的關系為PT2=PA·PB.
3、證明:
讓學生根據圖2寫出已知、求證,并進行分析、證明猜想.
分析:要證PT2=PA·PB, 可以證明,為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT,BP為邊的三角形相似,于是考慮作輔助線TP,PB.(圖3).容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P,因此△BPT∽△TPA,于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
(二)切割線定理的推論
1、再提出問題:當PB、PD為兩條割線時,線段PA,PB,PC,PD之間有什么關系?
觀察圖4,提出猜想:PA·PB=PC·PD.
2、組織學生用多種方法證明:
方法一:要證PA·PB=PC·PD,可證此可證以PA,PC為邊的三角形和以PD,PB為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線AC,BD,容易證明∠PAC=∠D,∠P=∠P,因此△PAC∽△PDB. (如圖4)
方法二:要證,還可考慮證明以PA,PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明∠B=∠D,又∠P=∠P. 因此△PAD∽△PCB.(如圖5)
方法三:引導學生再次觀察圖2,立即會發現.PT2=PA·PB,同時PT2=PC·PD,于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)
(三)初步應用
例1 已知:如圖6,⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B,PA=6厘米,AB=8厘米, PO=10.9厘米,求⊙O的半徑.
分析:由于PO既不是⊙O的切線也不是割線,故須將PO延長交⊙O于D,構成了圓的一條割線,而OD又恰好是⊙O的半徑,于是運用切割線定理的推論,問題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7,線段AB和⊙O交于點C,D,AC=BD,AE,BF分別切⊙O于點E,F,
求證:AE=BF.
分析:要證明的兩條線段AE,BF均與⊙O相切,且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上,且AC=BD,AD=BC. 因此它們的積相等,問題得證.
學生自主完成,教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤,如AE2=AC·CD和BF2=BD·DC等.
鞏固練習:P128練習1、2題
(四)小結
知識:切割線定理及推論;
能力:結合具體圖形時,應能寫出正確的等積式;
方法:在證明切割線定理和推論時,所用的構造相似三角形的方法十分重要,應注意很好地掌握.
(五)作業 教材P132中,11、12題.
探究活動
最佳射門位置
國際足聯規定法國世界杯決賽階段,比賽場地長105米,寬68米,足蠣趴?.32米,高2.44米,試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 如圖1所示.AB是足球門,點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置,即向P上方或下方移動,視角都變小,因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點,如圖1所示.即OP是圓的切線,而OB是圓的割線.
故 ,又 ,
OB=30.34+7.32=37.66.
OP= (米).
注:上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角.
和圓有關的比例線段 篇7
教學建議
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點:相交弦定理及其推論,切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點,而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識,主要應用與圓有關的計算和證明.
難點:正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多,學生容易混淆.
2、教學建議
本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論,做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論,做例3.第3課時是習題課,講例4并做有關的練3.
(1)教師通過教學,組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題,逐步培養學生研究性學習意識,激發學生的學習熱情;
(2)在教學中,引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習,教師組織下,以學生為主體開展教學活動.
第1課時:相交弦定理
教學目標:
1.理解相交弦定理及其推論,并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算;
2.學會作兩條已知線段的比例中項;
3.通過讓學生自己發現問題,調動學生的思維積極性,培養學生發現問題的能力和探索精神;
4.通過推論的推導,向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
教學重點:
正確理解相交弦定理及其推論.
教學難點:
在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證明中發生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
教學活動設計
(一)設置學習情境
1、圖形變換:(利用電腦使AB與CD弦變動)
①引導學生觀察圖形,發現規律:∠A=∠D,∠C=∠B.
②進一步得出:△APC∽△DPB.
.
③如果將圖形做些變換,去掉AC和BD,圖中線段 PA,PB,PC,PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?
組織學生觀察,并回答.
2、證明:
已知:弦AB和CD交于⊙O內一點P.
求證:PA·PB=PC·PD.
(A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明;B、C層學生在老師引導下完成)
(證明略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.
結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于點P,那么PA·PB=PC·PD.
2、從一般到特殊,發現結論.
對兩條相交弦的位置進行適當的調整,使其中一條是直徑,并且它們互 相垂直如圖,AB是直徑,并且AB⊥CD于P.
提問:根據相交弦定理,能得到什么結論?
指出:PC2=PA·PB.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來,如果敘述不完全、不準確.教師糾正,并板書.
推論 如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.
3、深刻理解推論:由于圓是軸對稱圖形,上述結論又可敘述為:半圓上一點C向直徑AB作垂線,垂足是P,則PC2=PA·PB.
若再連結AC,BC,則在圖中又出現了射影定理的基本圖形,于是有:
PC2=PA·PB ;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB
(三)應用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段,第二條弦的長為32厘米,求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.
例2 已知:線段a,b.
求作:線段c,使c2=ab.
分析:這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式,因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓,仿照推論即可作出要求作的線段.
作法:口述作法.
反思:這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題,可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.
變式練習:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?
將條件隱化,增加難度,提高學生學習興趣
練習2 如圖,CD是⊙O的直徑,AB⊥CD,垂足為P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的長.
練習3 如圖:在⊙O中,P是弦AB上一點,OP⊥PC,PC 交⊙O于C. 求證:PC2=PA·PB
引導學生分析:由AP·PB,聯想到相交弦定理,于是想到延長 CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC=PD問題得證.
(四)小結
知識:相交弦定理及其推論;
能力:作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力;
思想方法:學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
(五)作業
教材P132中 9,10;P134中B組4(1).
第2課時 切割線定理
教學目標:
1.掌握切割線定理及其推論,并初步學會運用它們進行計算和證明;
2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧,培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力
3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論,培養學生辯證唯物主義的觀點.
教學重點:
理解切割線定理及其推論,它是以后學習中經常用到的重要定理.
教學難點:
定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.
教學活動設計
(一)提出問題
1、引出問題:相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.如果兩弦延長交于圓外一點P,那么該點到割線與圓交點的四條線段PA,PB,PC,PD的長之間有什么關系?(如圖1)
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時,由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA,PB,PT之間又有什么關系?
2、猜想:引導學生猜想出圖中三條線段PT,PA,PB間的關系為PT2=PA·PB.
3、證明:
讓學生根據圖2寫出已知、求證,并進行分析、證明猜想.
分析:要證PT2=PA·PB, 可以證明,為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT,BP為邊的三角形相似,于是考慮作輔助線TP,PB.(圖3).容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P,因此△BPT∽△TPA,于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
(二)切割線定理的推論
1、再提出問題:當PB、PD為兩條割線時,線段PA,PB,PC,PD之間有什么關系?
觀察圖4,提出猜想:PA·PB=PC·PD.
2、組織學生用多種方法證明:
方法一:要證PA·PB=PC·PD,可證此可證以PA,PC為邊的三角形和以PD,PB為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線AC,BD,容易證明∠PAC=∠D,∠P=∠P,因此△PAC∽△PDB. (如圖4)
方法二:要證,還可考慮證明以PA,PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明∠B=∠D,又∠P=∠P. 因此△PAD∽△PCB.(如圖5)
方法三:引導學生再次觀察圖2,立即會發現.PT2=PA·PB,同時PT2=PC·PD,于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)
(三)初步應用
例1 已知:如圖6,⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B,PA=6厘米,AB=8厘米, PO=10.9厘米,求⊙O的半徑.
分析:由于PO既不是⊙O的切線也不是割線,故須將PO延長交⊙O于D,構成了圓的一條割線,而OD又恰好是⊙O的半徑,于是運用切割線定理的推論,問題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7,線段AB和⊙O交于點C,D,AC=BD,AE,BF分別切⊙O于點E,F,
求證:AE=BF.
分析:要證明的兩條線段AE,BF均與⊙O相切,且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上,且AC=BD,AD=BC. 因此它們的積相等,問題得證.
學生自主完成,教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤,如AE2=AC·CD和BF2=BD·DC等.
鞏固練習:P128練習1、2題
(四)小結
知識:切割線定理及推論;
能力:結合具體圖形時,應能寫出正確的等積式;
方法:在證明切割線定理和推論時,所用的構造相似三角形的方法十分重要,應注意很好地掌握.
(五)作業 教材P132中,11、12題.
探究活動
最佳射門位置
國際足聯規定法國世界杯決賽階段,比賽場地長105米,寬68米,足球門寬7.32米,高2.44米,試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).
分析與解 如圖1所示.AB是足球門,點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置,即向P上方或下方移動,視角都變小,因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點,如圖1所示.即OP是圓的切線,而OB是圓的割線.
故 ,又 ,
OB=30.34+7.32=37.66.
OP=(米).
注:上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角.
和圓有關的比例線段 篇8
教學建議
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點:相交弦定理及其推論,切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點,而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識,主要應用與圓有關的計算和證明.
難點:正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多,學生容易混淆.
2、教學建議
本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論,做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論,做例3.第3課時是習題課,講例4并做有關的練3.
(1)教師通過教學,組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題,逐步培養學生研究性學習意識,激發學生的學習熱情;
(2)在教學中,引導學生“觀察——猜想——證明——應用”等學習,教師組織下,以學生為主體開展教學活動.
第1課時:相交弦定理
教學目標:
1.理解相交弦定理及其推論,并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算;
2.學會作兩條已知線段的比例中項;
3.通過讓學生自己發現問題,調動學生的思維積極性,培養學生發現問題的能力和探索精神;
4.通過推論的推導,向學生滲透由一般到特殊的思想方法.
教學重點:
正確理解相交弦定理及其推論.
教學難點:
在定理的敘述和應用時,學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混,從而導致證明中發生錯誤,因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程,了解是哪兩個三角形相似,從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.
教學活動設計
(一)設置學習情境
1、圖形變換:(利用電腦使AB與CD弦變動)
①引導學生觀察圖形,發現規律:∠A=∠D,∠C=∠B.
②進一步得出:△APC∽△DPB.
.
③如果將圖形做些變換,去掉AC和BD,圖中線段 PA,PB,PC,PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?
組織學生觀察,并回答.
2、證明:
已知:弦AB和CD交于⊙O內一點P.
求證:PA·PB=PC·PD.
(A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明;B、C層學生在老師引導下完成)
(證明略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.
結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于點P,那么PA·PB=PC·PD.
2、從一般到特殊,發現結論.
對兩條相交弦的位置進行適當的調整,使其中一條是直徑,并且它們互 相垂直如圖,AB是直徑,并且AB⊥CD于P.
提問:根據相交弦定理,能得到什么結論?
指出:PC2=PA·PB.
請學生用文字語言將這一結論敘述出來,如果敘述不完全、不準確.教師糾正,并板書.
推論 如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.
3、深刻理解推論:由于圓是軸對稱圖形,上述結論又可敘述為:半圓上一點C向直徑AB作垂線,垂足是P,則PC2=PA·PB.
若再連結AC,BC,則在圖中又出現了射影定理的基本圖形,于是有:
PC2=PA·PB ;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB
(三)應用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段,第二條弦的長為32厘米,求第二條弦被交點分成的兩段的長.
引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.
例2 已知:線段a,b.
求作:線段c,使c2=ab.
分析:這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式,因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓,仿照推論即可作出要求作的線段.
作法:口述作法.
反思:這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題,可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.
練習1 如圖,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.
變式練習:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?
將條件隱化,增加難度,提高學生學習興趣
練習2 如圖,CD是⊙O的直徑,AB⊥CD,垂足為P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的長.
練習3 如圖:在⊙O中,P是弦AB上一點,OP⊥PC,PC 交⊙O于C. 求證:PC2=PA·PB
引導學生分析:由AP·PB,聯想到相交弦定理,于是想到延長 CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根據條件OP⊥PC.易 證得PC=PD問題得證.
(四)小結
知識:相交弦定理及其推論;
能力:作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力;
思想方法:學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.
(五)作業
教材P132中 9,10;P134中B組4(1).
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和圓有關的比例線段 篇9
教學目標:1、使學生能在證題或計算中熟練應用和圓有關的比線段.2、培養學生對知識的綜合運用.3、訓練學生注意新舊知識的結合,不斷提高綜合運用知識的能力;4、學會分析一些基本圖形的結構及其所具有的關系式;5、善于總結一些常見類型的題目的解法和常用的添加輔助線的方法.教學重點: 指導學生分析好題目,找出正確的解題思路.教學難點:將和圓有關的比例線段結合原有知識的過程中,學生的分析不到位,很容易對題目產生無從入手的感覺.教學過程:一、新課引入:我們已經學習了和圓有關的比例線段,現在我們將綜合這一部分知識,結合原有知識解決一些幾何問題. 在證明線段相等、角相等、線段成比例等問題中,相交弦定理和切割線定理同切線長定理、弦切角定理一樣重要.這兩個定理并不難掌握,由于習題的綜合性,故對于一些知識點較多、運用知識較靈活的習題中,大家證起來往往感到困難,因此除了復習好原有知識外,更重要的是搞好題目分析,這是證題關鍵.就本課p.129例4,指導學生搞好題目分析,并完成證明.二、新課講解:p.129例4如圖7-90,兩個以o為圓心的同心圓,ab切大圓于b,ac切小圓于c,交大圓于d、e.ab=12,ao=15,ad=8.求:兩圓的半徑.
分析:題目要求的圓半徑顯然應該連結過切點的半徑ob、oc.由切線的性質知∠abo=∠aco=rt∠,因此ob,oc分別是rt△的一邊,利用勾股定理計算是最直接了當的了.(1)在rt△abo中,已知ab、ao,故bo可求.(2)oc在rt△aco中,僅知道ao的長,必須得求出ac,才可以求oc.ac是大⊙o的割線ade的一部分.ac=ad=dc,ad已知,只所以應該先求ae.在大⊙o中,由切割線定理:ab2=ad·ae,ae可求,則dc可求,ac可求,從而oc可求.解:連結ob、oc.練習一,p.130中1、如圖7-91,p為⊙o外一點,op與⊙o交于點a,割線pbc與⊙o交于點b、c,且pb=bc.如圖oa=7,pa=2,求pc的長.
此題中op經過圓心o,屬于切割線定理的一種基本圖形.輔助線是延長po交⊙o于d,由于半徑oa已知,所以pd已知,而已知pb=bc,則由切割線定理的推論,可先求出pb,pc亦可求.解:延長po交⊙o于d.pbc、pad都是⊙o的割線pb·2pb=2×16pc=8練習二,p.130中2.已知:如圖7-92,⊙o和⊙o′都經過a和b,pq切⊙o于p,交⊙o′于q、m,交ab的延長線于n.求證:pn2=nm·nq.
觀察圖形,要證的數量關系中,線段屬于不同的兩圓,np是⊙o的切線,nmq是⊙o′的割線,能夠把這兩條線聯系在一起的是兩圓的公共割線nba.具備了在兩圓中運用切割線定理及其推論的條件.練習三,如圖7-93,四邊形abcd內接于⊙o,ab長7cm,cd=10cm,ad∶bc=1∶2,延長ba、cd相交于e,從e引圓的切線ef.求ef的長.
此題中ef是⊙o的切線,由切割線定理:ef2=ed·ec=ea·eb,故要求ef的長,須知ed或ea的長,而四邊形abcd內接于⊙o,可eb長為2x,應用割線定理,可求得x,于是ef可求.證明:四邊形abcd內接于⊙o△ead∽△ecbeb=2(x+10)=(2x-7)·2=8ef2=8×(8+10)ef=12答:ef長為12cm.三、課堂小結:讓學生閱讀p.129例4,并就本節內容總結出以下幾點:1.要經常復習學過的知識,把新舊知識結合起來,不斷提高綜合運用知識的能力.2.學習例題時,不要就題論題,而是注重研究思路、體會和掌握方法,學會分析問題和解決問題的一般方法.3.學會分析一些基本圖形的結構及所具有的基本關系式.4.總結規律:本課練習3以方程的思想方法為指導,利用代數方法,即通過方程或方程組的求解解決所求問題,設未知數時,可直接或間接設,本題屬于間接設.列方程或方程組時,尋求已知量與未知量之間的關系.而幾何定理是列方程的根據.本題方程是根據割線定理列出.四、布置作業:1.教材p133中12、13. 2. p.133至p.134中1、2、3、4、5.