有理數的加法
教學目標
1.理解有理數加法的意義，掌握有理數加法法則中的符號法則和絕對值運算法則；
2.能根據有理數加法法則熟練地進行有理數加法運算，弄清有理數加法與非負數加法的區別；
3.三個或三個以上有理數相加時，能正確應用加法交換律和結合律簡化運算過程；
4.通過有理數加法法則及運算律在加法運算中的運用，培養學生的運算能力；
5.本節課通過行程問題說明法則的合理性，然后又通過實例說明如何運用法則和運算律，讓學生感知到數學知識來源于生活，并應用于生活。
教學建議
（一）重點、難點分析
本節教學的重點是依據法則熟練進行運算。難點是法則的理解。
（1）加法法則本身是一種規定，教材通過行程問題讓學生了解法則的合理性。
（2）具體運算時，應先判別題目屬于運算法則中的哪個類型，是同號相加、異號相加、還是與0相加。
（3）如果是同號相加，取相同的符號，并把絕對值相加。如果是異號兩數相加，應先判別絕對值的大小關系，如果絕對值相等，則和為0；如果絕對值不相等，則和的符號取絕對值較大的加數的符號，和的絕對值就是較大的絕對值與較小的絕對值的差。一個數與0相加，仍得這個數。
（二）知識結構
（三）教法建議
1.對于基礎比較差的同學，在學習新課以前可以適當復習小學中算術運算以及正負數、相反數、絕對值等知識。
2.法則是規定的，而教材開始部分的行程問題是為了說明加法法則的合理性。
3.應強調加法交換律“a＋b＝b＋a”中字母a、b的任意性。
4.計算三個或三個以上的加法算式，應建議學生養成良好的運算習慣。不要盲目動手，應該先仔細觀察式子的特點，深刻認識加數間的相互關系，找到合理的運算步驟，再適當運用加法交換律和結合律可以使加法運算更為簡化。
5.可以給出一些類似“兩數之和必大于任何一個加數”的判斷題，以明確由于負數參與加法運算，一些算術加法中的正確結論在有理數加法運算中未必也成立。
6.在探討導出法則的行程問題時，可以嘗試發揮多媒體教學的作用。用動畫演示人或物體在同一直線上兩次運動的過程，讓學生更好的理解有理數運算法則。
教學設計示例
（第一課時）
教學目的
1.使學生理解有理數加法的意義，初步掌握有理數加法法則，并能準確地進行運算.
2.通過運算，培養學生的運算能力.
教學重點與難點
重點：熟練應用法則進行加法運算.
難點：法則的理解.
教學過程
(一)復習提問
1.有理數是怎么分類的？
2.有理數的絕對值是怎么定義的？一個有理數的絕對值的幾何意義是什么？
3.有理數大小比較是怎么規定的？下列各組數中，哪一個較大？利用數軸說明？
-3與-2；|3|與|-3|；|-3|與0；
-2與|+1|；-|+4|與|-3|.
(二)引入新課
在小學算術中學過了加、減、乘、除四則運算，這些運算是在正有理數和零的范圍內的運算.引入負數之后，這些運算法則將是怎樣的呢？我們先來學運算.
(三)進行新課 (板書課題)
例1 如圖所示，某人從原點0出發，如果第一次走了5米，第二次接著又走了3米，求兩次行走后某人在什么地方？
兩次行走后距原點0為8米，應該用加法.
為區別向東還是向西走，這里規定向東走為正，向西走為負.這兩數相加有以下三種情況：
1.同號兩數相加
(1)某人向東走5米，再向東走3米，兩次一共走了多少米？
這是求兩次行走的路程的和.
5+3＝8
用數軸表示如圖
從數軸上表明，兩次行走后在原點0的東邊.離開原點的距離是8米.因此兩次一共向東走了8米.
可見，正數加正數，其和仍是正數，和的絕對值等于這兩個加數的絕對值的和.
(2)某人向西走5米，再向西走3米，兩次一共向東走了多少米？
顯然，兩次一共向西走了8米
(-5)+(-3)＝-8
用數軸表示如圖
從數軸上表明，兩次行走后在原點0的西邊，離開原點的距離是8米.因此兩次一共向東走了-8米.
可見，負數加負數，其和仍是負數，和的絕對值也是等于兩個加數的絕對值的和.
總之，同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加.
例如，(-4)+(-5)，……同號兩數相加
(-4)+(-5)＝-( )，…取相同的符號
4+5＝9……把絕對值相加
∴ (-4)+(-5)＝-9.
口答練習：
(1)舉例說明算式7+9的實際意義？
(2)(-20)+(-13)＝?
(3)
2.異號兩數相加
(1)某人向東走5米，再向西走5米，兩次一共向東走了多少米？
由數軸上表明，兩次行走后，又回到了原點，兩次一共向東走了0米.
5+(-5)＝0
可知，互為相反數的兩個數相加，和為零.
(2)某人向東走5米，再向西走3米，兩次一共向東走了多少米？
由數軸上表明，兩次行走后在原點o的東邊，離開原點的距離是2米.因此，兩次一共向東走了2米.
就是 5+(-3)＝2.
(3)某人向東走3米，再向西走5米，兩次一共向東走了多少米？
由數軸上表明，兩次行走后在原點o的西邊，離開原點的距離是2米.因此，兩次一共向東走了-2米.
就是 3+(-5)＝-2.
請同學們想一想，異號兩數相加的法則是怎么規定的？強調和的符號是如何確定的？和的絕對值如何確定？
最后歸納
絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個數相加得0.
例如(-8)+5……絕對值不相等的異號兩數相加
8＞5
(-8)+5＝-( )……取絕對值較大的加數符號
8-5＝3 ……用較大的絕對值減去較小的絕對值
∴(-8)+5＝-3.
口答練習
用算式表示：溫度由-4℃上升7℃，達到什么溫度.
(-4)+7＝3(℃)
3.一個數和零相加
(1)某人向東走5米，再向東走0米，兩次一共向東走了多少米？
顯然，5+0＝5.結果向東走了5米.
(2)某人向西走5米，再向東走0米，兩次一共向東走了多少米？
容易得出：(-5)+0＝-5.結果向東走了-5米，即向西走了5米.
請同學們把(1)、(2)畫出圖來
由(1)，(2)得出：一個數同0相加，仍得這個數.
總結有理數加法的三個法則.學生看書，引導他們看有理數加法運算的三種情況.
有理數加法運算的三種情況：
特例：兩個互為相反數相加；
(3)一個數和零相加.
每種運算的法則強調：(1)確定和的符號；(2)確定和的絕對值的方法.
(四)例題分析
例1 計算(-3)+(-9).
分析：這是兩個負數相加，屬于同號兩數相加，和的符號與加數相同(應為負)，和的絕對值就是把絕對值相加(應為3+9＝12)(強調相同、相加的特征).
解：(-3)+(-9)＝-12.
例2
分析：這是異號兩數相加，和的符號與絕對值較大的加數的符號相同(應為負)，和的絕對值等于較大絕對值減去較小絕對值..(強調“兩個較大”“一個較小”)
解：
解題時，先確定和的符號，后計算和的絕對值.
(五)鞏固練習
1.計算(口答)
(1)4+9； (2) 4+(-9)； (3)-4+9； (4)(-4)+(-9)；
(5)4+(-4)； (6)9+(-2)； (7)(-9)+2； (8)-9+0；
2.計算
(1)5+(-22)； (2)(-1.3)+(-8)
(3)(-0.9)+1.5； (4)2.7+(-3.5)
探究活動
題目 (1)在1，2，3，4四個數的前面添加正號或負號，使它們的和為0；
(2)在1，2，3，…，11，12十二個數的前面添加正號或負號，使它們的和為零；
(3)在1，2，3，4，…，99，100一百個數的前面添加正號或負號，使它們的和為0；
(4) 在解決這個問題的過程中，你能總結出一些什么數學規律？
參考答案 我們不妨不妨以第二問為例探討，比如，在12，11，10，5這四個數的前面添加負號，則這12個數的和是：－12－11－10＋9＋8＋7＋6－5＋4＋3＋2＋1＝2.
現在我們將各數的符號加以調整，考慮到將一個正數變號，其和就要減少這個正數的兩倍，因此可得到兩個(明顯的)解答：
(1)得＋1變為－1，有－12－11－10＋9＋8＋7＋6－5＋4＋3＋2－1＝0； ①
(2)將(+6-5)變為-(6-5)，有-12-11-10+9+8+7-6+5+4+3+2+1＝0.②
又如，在11，10，8，7，5這五個數的前面添加負號，得
12－11－10－9－8－7＋6－5＋4＋3＋2＋1＝－4，
我們就有多種調整的方法，如將－8與＋6變號，有
12－11－10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2＋1＝0. ③
經過幾次試驗，我們發現了規律：欲使十二個數的和為零，其中正數的和的絕對值與負數的和的絕對值必須相等.但
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝78
因此我們應該使各正數的和的絕對值與各負數的和的絕對值均為
為了簡便起見，我們把①式所表示的一個解答記為(12，11，10，5，1)，那么②，③兩式所表示的解答就分別記為(12，11，10，6)與(11，10，7，6，5).
同時我們還發現：如果(12，11，10，5，1)是一個解答，那么(9，8，7，6，4，3，2)也必定是一個解答.同樣，對應于②，③兩式，還分別有另兩個解答：(9，8，7，5，4，3，2，1)與(12，9，8，4，3，2，1).這個規律我們不妨叫做對偶律.
此外我們還可發現，由于最大的三個數12，11，10其和33＜39，因此必須再增加一個數6，才有解答(12，11，10，6)，也就是說：添加負號的數至少要有四個；反過來，根據對偶律得：添加負號的數最多不超過八個.
掌握了上述幾條規律，我們就能夠在很短的時間內得到許多解答.最后讓我們告訴你，第(2)問的解答個數并非無數多，其總數是124個.