三元一次方程組的解法舉例
教學(xué)建議
一、重點、難點分析
本節(jié)教學(xué)的重點是掌握三元一次方程組的解法，教學(xué)難點 是解法的靈活運(yùn)用.能夠熟練的解三元一次方程組是進(jìn)一步學(xué)習(xí)一次方程組的應(yīng)用，以及一次不等式組的解法的基礎(chǔ).
1.方程組有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，這樣的方程組就是三元一次方程組.
2.三元一次方程組的解法仍是用代入法或加減法消元，即通過消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程.
3.如何消元，首先要認(rèn)真觀察方程組中各方程系數(shù)的特點，然后選擇最好的解法.
4.有些特殊方程組，可用特殊的消元方法，有時一下子可消去兩個未知數(shù)，直接求出一個未知數(shù)值來.
5.解一次方程組的消元“轉(zhuǎn)化”基本思想，可以推廣到“四元”、“五元”等多元方程組，這是今后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
二、知識結(jié)構(gòu)
三、教法建議
1. 解三元一次方程組時，由于方程較多，學(xué)生容易出錯.因此，應(yīng)提醒學(xué)生注意，在消去一個未知數(shù)得出比原方程組少一個未知數(shù)的二元一次方程組的過程中，原方程組的每一個方程一般都至少要用到一次.
2. 消元時，先要考慮好消去哪一個未知數(shù).開始練習(xí)時，可以先把要消去的未知數(shù)寫出來（如教科書在分析中所寫的那樣），然后再進(jìn)行消元.
在例2中，如果先確定消去 ，那么這三個方程兩兩分組的方法有3種；①與②，①與③，②與③.我們可以從中任選2種消去 .這里特別要注意選定2種后，必須消去同一個未知數(shù).如果違背了這一點，所得的兩個新方程雖然各含兩個未知數(shù)，但由它們組成的方程組仍然含有三個未知數(shù)，這在實際上沒有消元.
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
（一）知識教學(xué)點
1.知道什么是三元一次方程.
2.會解某個方程只有兩元的簡單的三元一次方程組.
3.掌握解三元一次方程組過程中化三元為二元或一元的思路.
（二）能力訓(xùn)練點
1.培養(yǎng)學(xué)生分析能力，能根據(jù)題目的特點，確定消元方法、消元對象.
2.培養(yǎng)學(xué)生的計算能力、訓(xùn)練解題技巧.
（三）德育滲透點
滲透“消元”的思想，設(shè)法把未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知.
（四）美育滲透點
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，滲透方程恒等變形的數(shù)學(xué)美，以及方程組解的奇異美.
二、學(xué)法引導(dǎo)
1.教學(xué)方法：觀察法、討論法、練習(xí)法.
2.學(xué)生學(xué)法：三元一次方程組比二元一次方程組要復(fù)雜些，有些題的解法技巧性較強(qiáng)，因此在解題前必須認(rèn)真觀察方程組中各個方程的系數(shù)特點，選擇好先消去的“元”，這是決定解題過程繁簡的關(guān)鍵.一般來說應(yīng)先消去系數(shù)最簡單的未知數(shù).
三、重點·難點·疑點及解決辦法
（一）重點
使學(xué)生會解簡單的三元一次方程組，經(jīng)過本課教學(xué)進(jìn)一步熟悉解方程組時“消元”的基本思想和靈活運(yùn)用代入法、加減法等重要方法.
（二）難點
針對方程組的特點，選擇最好的解法.
（三）疑點
如何進(jìn)行消元.
（四）解決辦法
加強(qiáng)理解二元及三元一次方程組的解題思想是“消元”，故在求解中為便于計算應(yīng)選擇系數(shù)較簡單的未知數(shù)將它消去.
四、課時安排
一課時.
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、自制膠片.
六、師生互動活動設(shè)計
1.教師先復(fù)習(xí)解二元一次方程組的解題思想及辦法，讓學(xué)生充分理解方程組的消元思想及方法.
2.教師由引例引出三元一次方程組，由學(xué)生思考、討論后解決如何消三元變二元，教師講解、小結(jié).
3.由學(xué)生嘗試，解決例題.
4.學(xué)生練習(xí)，教師小結(jié)、講評.
七、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
本節(jié)課將學(xué)習(xí)如何求三元一次方程組的解.
（二）整體感知
通過復(fù)習(xí)二元一次方程組的解題思想，從而類推出三元一次方程組的解題思想及解題方法，讓學(xué)生牢牢抓住利用消元的思想化三元為二元，再化二元為一元的辦法來求解.
（三）教學(xué)過程
1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入 、探索新知
（1）解二元一次方程組的基本方法有哪幾種？（2）解二元一次方程組的基本思想是什么？
甲、乙、丙三數(shù)的和是26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個數(shù).
題目中有幾個未知數(shù)？含有幾個相等關(guān)系?你能根據(jù)題意列出幾個方程？
學(xué)生活動：回答問題、設(shè)未知數(shù)、列方程.
這個問題必須三個條件都滿足，因此，我們把三個方程合在一起，寫成下面的形式：
這個方程組有三個未知數(shù)，每個方程的未知數(shù)的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組，就是我們要學(xué)的三元一次方程組.
怎樣解這個三元一次方程組呢？你能不能設(shè)法消云一個或兩個未知數(shù)，把它化成二元一次方程組或一元一次方程？
學(xué)生活動：思考、討論后說出消元方案.
教師對學(xué)生的回答給予肯定或否定，糾正后說出消元方案：依照代入法，由較簡單的方程②，可得 ④，進(jìn)一步將④分別代入①和③中，就可消去 ，得到只含 、 的二元一次方程組.
解：由②，得 ④
把④代入①，得 ⑤
把④代入③，得 ⑥
⑤與⑥組成方程組
解這個方程組得
把 代入④，得
∴
∴
注意：a.得二元一次方程組后，解二元一次方程的過程在練習(xí)本上完成.
b.得 ， 后，求 ，要代入前面最簡單的方程④.
c.檢驗.
這道題也可以用加減法解，②中不含 ，那么可以考慮將①與③結(jié)合消去，與②組成二元一次方程組.
學(xué)生活動：在練習(xí)本上用加減法解方程組.
【教法說明】通過一題多解，不僅能開闊學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的興趣，而且，可以鞏固解方程組時通過“消元”把未知轉(zhuǎn)化為已知的基本思想.
2.學(xué)生嘗試解決例題
例1 解方程組
學(xué)生活動：獨立分析、思考，嘗試解題，有的學(xué)生可能用代入法解，有的學(xué)生可能用加減法解，選一個用加減法解的學(xué)生板演，然后，讓用代入法的學(xué)生比較哪種方法簡單.
解：②×3＋③，得 ④
①與④組成方程組
解這個方程組，得
把 ， 代入②，得
∴
∴
歸納：這個方程組的特點是方程①不含 ，而②、③中 的系數(shù)絕對值成整數(shù)倍關(guān)系，顯然用加減法從②、③中消去 后，再與①組成只含 、 的二元一次方程組的解法最為合理.而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③較繁.
【教法說明】有了前例的基礎(chǔ)，讓學(xué)生獨立嘗試解題，可以培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力；在解題后歸納題目的特點為，點明消元方法和消元對象，更有助于學(xué)生探索方法、掌握技巧.
3.嘗試反饋，鞏固知識
練習(xí)：P30 （1）.
學(xué)生活動：獨立完成練習(xí)后，同桌、前后桌之間按不同解法的同學(xué)交換，看哪種方法最簡單.
4.變式訓(xùn)練要，培養(yǎng)能力
補(bǔ)例：解方程組
學(xué)生活動：獨立完成.
【教法說明】此方程組中方程①、③中 、 的系數(shù)完全相同，用③－①可直接得到 ，再把 代入②可求 ，代入①可求 .這道題直接化三元為一元，能使學(xué)生體會到解法技巧的重要性，覺得數(shù)學(xué)問題真是奧妙無窮!
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
1.解三元一次方程組的基本思想是什么？方法有哪些？
2.解題前要認(rèn)真觀察各方程的系數(shù)特點，選擇最好的解法，當(dāng)方程組中某個方程只含二元時，一般的，這個方程中缺哪個元，就利用另兩個方程用加減法消哪個元；如果這個二元方程系數(shù)較簡單，也可以用代入法求解.
3.注意檢驗.
【教法說明】這樣總結(jié)，既突出了本課重點，又突出了本節(jié)內(nèi)容中例題、習(xí)題的特點—某個方程只含兩元，使學(xué)生在以后解題時有很強(qiáng)的針對性.
八、布置作業(yè)
（一）必做題：P31 A組1.
（二）選做題：解方程組
（三）思考題：課本第32頁“想一想”.
【教法說明】作業(yè) （一）是為了鞏固本節(jié)所學(xué)知識；作業(yè) （二）有很強(qiáng)的技巧性，可培養(yǎng)學(xué)生興趣；作業(yè) （三）培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.