含有絕對值的不等式
我們已學過積商絕對值的性質,哪位同學回答一下?
.
當 時,有: 或 .
二、引入新課
由上可知,積的絕對值等于絕對值的積;商的絕對值等于絕對值的商。
那么和差的絕對值等于絕對值的和差嗎?
1.定理探索
和差的絕對值不一定等于絕對值的和差,我們猜想
.
怎么證實你的結論呢?
用分析法,要證 .
只要證
即證
即證 ,
而 顯然成立,
故
那么怎么證 ?
同樣可用分析法
當 時,顯然成立,
當 時,要證
只要證 ,
即證
而 顯然成立。
從而證得 .
還有別的證法嗎?(學生討論,教師提示)
由 與 得 .
當我們把 看作一個整體時,上式逆用 可得什么結論?
。
能用已學過得的 證實 嗎?
可以 表示為 .
即 (教師有計劃地板書學生分析證實的過程)
就是含有絕對值不等式的重要定理,即 .
由于定理中對 兩個實數的絕對值,那么三個實數和的絕對值呢? 個實數和的絕對值呢?
亦成立
這就是定理的一個推論,由于定理中對 沒有非凡要求,假如用 代換 會有什么結果?(請一名學生到黑板演)
,
用 代 得 ,
即 。
這就是定理的推論 成立的充要條件是什么?
那么 成立的充要條件是什么?
.
例1 已知 ,求證 . (由學生自行完成,請學生板演)
證實:
例2 已知 ,求證 .
證實:
點評:這是為今后學習極限證實做預備,要習慣和“配湊”的方法。
例3 求證 .
證法一:(直接利用性質定理)在 時,顯然成立.
當 時,左邊
.
證法二:(利用函數的單調性)研究函數 在 時的單調性。
設 ,
, 在 時是遞增的.
又 ,將 , 分別作為 和 ,則有
(下略)
證法三:(分析法)原不等式等價于 ,
只需證 ,
即證
又 ,
顯然成立.
原不等式獲證。
還可以用分析法證得 ,然后利用放縮法證得結果。
三、隨堂練習
1.①已知 ,求證 .
②已知 求證 .