不等式的性質(zhì)
當x＝0時，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1
當x≠0時，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1
此題意在培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想，提醒學(xué)生在解決含字母代數(shù)式問題時，不要忘記代數(shù)式中字母的取值范圍，一般情況下，取值范圍是實數(shù)集的可以省略不寫
得出結(jié)論：例1，例2是用作差比較法來比較兩個實數(shù)的大小，其一般步驟是：作差--變形--判斷符號 這樣把兩個數(shù)的大小問題轉(zhuǎn)化為判斷它們差的符號問題，至于差本身是多少，在此無關(guān)緊要
例3已知a>b>0，m>0，試比較 與 的大小
解：
∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0
∴ ∴ >
從而揭示"糖水加糖甜更甜"的數(shù)學(xué)內(nèi)涵
例4 比較a4-b4與4a3(a-b)的大小.
解： a4-b4 - 4a3(a-b)
=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)
= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)
＝(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]
= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
=- (a-b)2 (當且僅當d＝b時取等號)
∴a4-b4 4a3(a-b)
說明："變形"是解題的關(guān)鍵，是最重一步 因式分解、配方、湊成若干個平方和等是"變形"的常用方法
例5 已知x>y，且y≠0，比較 與1的大小
解：
∵x>y，∴x-y>0
當y<0時， <0，即 <1
當y>0時， >0，即 >1
說明：變形的目的是為了判定符號，此題定號時，要根據(jù)字母取值范圍，進行分類討論
四、課堂練習(xí)：
1 在以下各題的橫線處適當?shù)牟坏忍枺?br>(1)（ ＋ ）2 6＋2 ；
（2）（ － ）2 （ －1）2；
（3） ；
(4)當a＞b＞0時，log a log b
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
2 選擇題
若a＜0，－1＜b＜0，則有( )
a a＞ab＞ab2 b ab2＞ab＞a c ab＞a＞ab2 d ab＞ab2＞a
分析：利用作差比較法判斷a，ab，ab2的大小即可
∵a＜0，－1＜b＜0
∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0
∴ab－a＝a（b－1）＞0 ab＞a
ab－ab2＝ab（1－b）＞0 ab＞ab2
a－ab2＝a（1－b2）＜0 a＜ab2
故ab＞ab2＞a
答案：d
3 比較大�。�
(1)（x＋5）（x＋7）與（x＋6）2；
(2)log 與log
解：(1)（x＋5）（x＋7）－（x＋6)2
＝（x2＋12x＋35）－（x2＋12x＋36）
＝－1＜0
∴（x＋5）（x＋7）＜（x＋6）2
(2)解法一：(作差法)
log －log ＝
＝ ＞0
∴l(xiāng)og ＞log
解法二：(中介法，常以"－1，0，1"作中介)
∵函數(shù)y＝log x和y＝log x在（0，＋∞）上是減函數(shù)且 ＞
∴l(xiāng)og ＞log ＝1，log ＜log ＝1
∴l(xiāng)og ＞log
4 如果x＞0，比較（ －1）2與（ ＋1）2的大小
解：（ －1）2－（ ＋1）2
＝［（ －1）＋（ ＋1）］［（ －1）－（ ＋1）
或［（x－2 ＋1）－（x＋2 ＋1）］＝－4
∵x＞0 ∴ ＞0 ∴－4 ＜0
∴（ －1）2＜（ ＋1）2
5 已知a≠0，比較（a2＋ a＋1）（a2－2 a＋1）與（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小