曲線和方程
由此可見,曲線方程就是產生曲線的幾何條件的一種表現形式,這個形式的特點是“含動點坐標的代數方程.”
(6)求曲線方程的問題是解析幾何中一個基本的問題和長期的任務,不是一下子就徹底解決的,求解的方法是在不斷的學習中把握的,教學中要把握好“度”.
教學設計示例
課題:求曲線的方程(第一課時)
教學目標:
(1)了解坐標法和解析幾何的意義,了解解析幾何的基本問題.
(2)進一步理解曲線的方程和方程的曲線.
(3)初步把握求曲線方程的方法.
(4)通過本節內容的教學,培養學生分析問題和轉化的能力.
教學重點、難點:求曲線的方程.
教學用具:計算機.
教學方法:啟發引導法,討論法.
教學過程:
引入
1.提問:什么是曲線的方程和方程的曲線.
學生思考并回答.教師強調.
2.坐標法和解析幾何的意義、基本問題.
對于一個幾何問題,在建立坐標系的基礎上,用坐標表示點;用方程表示曲線,通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質,這一研究幾何問題的方法稱為坐標法,這門科學稱為解析幾何.解析幾何的兩大基本問題就是:
(1)根據已知條件,求出表示平面曲線的方程.
(2)通過方程,研究平面曲線的性質.
事實上,在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題.而且要先研究如何求出曲線方程,再研究如何用方程研究曲線.本節課就初步研究曲線方程的求法.
問題
如何根據已知條件,求出曲線的方程.
實例分析
例1:設 、 兩點的坐標是 、(3,7),求線段 的垂直平分線 的方程.
首先由學生分析:根據直線方程的知識,運用點斜式即可解決.
解法一:易求線段 的中點坐標為(1,3),
由斜率關系可求得l的斜率為
于是有
即l的方程為
①
分析、引導:上述問題是我們早就學過的,用點斜式就可解決.可是,你們是否想過①恰好就是所求的嗎?或者說①就是直線 的方程?根據是什么,有證實嗎?
(通過教師引導,是學生意識到這是以前沒有解決的問題,應該證實,證實的依據就是定義中的兩條).
證實:(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解.
設 是線段 的垂直平分線上任意一點,則
即
將上式兩邊平方,整理得
這說明點 的坐標 是方程 的解.
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
設點 的坐標 是方程①的任意一解,則
到 、 的距離分別為
所以 ,即點 在直線 上.