曲線和方程
綜合(1)、(2),①是所求直線的方程.
至此,證實(shí)完畢.回顧上述內(nèi)容我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象:在證實(shí)(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解中,設(shè) 是線段 的垂直平分線上任意一點(diǎn),最后得到式子 ,假如去掉腳標(biāo),這不就是所求方程 嗎?可見,這個(gè)證實(shí)過程就表明一種求解過程,下面試試看:
解法二:設(shè) 是線段 的垂直平分線上任意一點(diǎn),也就是點(diǎn) 屬于集合
由兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)所適合的條件可表示為
將上式兩邊平方,整理得
果然成功,當(dāng)然也不要忘了證實(shí),即驗(yàn)證兩條是否都滿足.顯然,求解過程就說明第一條是正確的(從這一點(diǎn)看,解法二也比解法一優(yōu)越一些);至于第二條上邊已證.
這樣我們就有兩種求解方程的方法,而且解法二不借助直線方程的理論,又非常自然,還體現(xiàn)了曲線方程定義中點(diǎn)集與對(duì)應(yīng)的思想.因此是個(gè)好方法.
讓我們用這個(gè)方法試解如下問題:
例2:點(diǎn) 與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù) 求點(diǎn) 的軌跡方程.
分析:這是一個(gè)純粹的幾何問題,連坐標(biāo)系都沒有.所以首先要建立坐標(biāo)系,顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標(biāo)軸,建立直角坐標(biāo)系.然后仿照例1中的解法進(jìn)行求解.
求解過程略.
概括總結(jié)通過學(xué)生討論,師生共同總結(jié):
分析上面兩個(gè)例題的求解過程,我們總結(jié)一下求解曲線方程的大體步驟:
首先應(yīng)有坐標(biāo)系;其次設(shè)曲線上任意一點(diǎn);然后寫出表示曲線的點(diǎn)集;再代入坐標(biāo);最后整理出方程,并證實(shí)或修正.說得更準(zhǔn)確一點(diǎn)就是:
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)例如 表示曲線上任意一點(diǎn) 的坐標(biāo);
(2)寫出適合條件 的點(diǎn) 的集合
;
(3)用坐標(biāo)表示條件 ,列出方程 ;
(4)化方程 為最簡(jiǎn)形式;
(5)證實(shí)以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).
一般情況下,求解過程已表明曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解;假如求解過程中的轉(zhuǎn)化都是等價(jià)的,那么逆推回去就說明以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).所以,通常情況下證實(shí)可省略,不過非凡情況要說明.
上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為:建系設(shè)點(diǎn);寫出集合;列方程;化簡(jiǎn);修正.
下面再看一個(gè)問題:
例3:已知一條曲線在 軸的上方,它上面的每一點(diǎn)到 點(diǎn)的距離減去它到 軸的距離的差都是2,求這條曲線的方程.
動(dòng)畫演示用幾何畫板演示曲線生成的過程和外形,在運(yùn)動(dòng)變化的過程中尋找關(guān)系.
解:設(shè)點(diǎn) 是曲線上任意一點(diǎn), 軸,垂足是 (如圖2),那么點(diǎn) 屬于集合
由距離公式,點(diǎn) 適合的條件可表示為
①
將①式 移項(xiàng)后再兩邊平方,得
化簡(jiǎn)得
由題意,曲線在 軸的上方,所以 ,雖然原點(diǎn) 的坐標(biāo)(0,0)是這個(gè)方程的解,但不屬于已知曲線,所以曲線的方程應(yīng)為 ,它是關(guān)于 軸對(duì)稱的拋物線,但不包括拋物線的頂點(diǎn),如圖2中所示.