充要條件與反證法

    a.x<0                   b.x≥0
    c.x∈{-1,3,5}       d.x≤- 或x≥3
    剖析:∵2x2-5x-3≥0成立的充要條件是x≤- 或x≥3,∴對于a當x=- 時 2x2-5x-3≥0.同理其他也可用特殊值驗證.
    答案:c
    【例2】 求證:關于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0.
    證明:(1)必要性,即"若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,則a+b+c=0".
    ∵x=1是方程的根,將x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
    (2)充分性,即"若a+b+c=0,則x=1是方程ax2+bx+c=0的根".
    把x=1代入方程的左邊,得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0,∴x=1是方程的根.
    綜合(1)(2)知命題成立.
    深化拓展
    求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一負根的充要條件.
    證明:必要性:
    (1)方程有一正根和一負根,等價于
    a<0.
    (2)方程有兩負根,等價于
    0<a≤1.
    綜上可知,原方程至少有一負根的必要條件是a<0或0<a≤1.
    充分性:由以上推理的可逆性,知當a<0時方程有異號兩根;當0<a≤1時,方程有兩負根.故a<0或0<a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一負根的充分條件.
    答案:a<0或0<a≤1.
    【例3】 下列說法對不對?如果不對,分析錯誤的原因.
    (1)x2=x+2是x =x2的充分條件;
    (2)x2=x+2是x =x2的必要條件.
    解:(1)x2=x+2是x =x2的充分條件是指x2=x+2 x =x2.
    但這里" "不成立,因為x=-1時," "左邊為真,但右邊為假.得出錯誤結論的原因可能是應用了錯誤的推理:
    x2=x+2 x=  x2=x .
    這里推理的第一步是錯誤的(請同學補充說明具體錯在哪里).
    (2)x2=x+2是x =x2的必要條件是指x =x2 x2=x+2.
    但這里" "不成立,因為x=0時," "左邊為真,但右邊為假.得出錯誤結論的原因可能是用了錯誤的推理:
    x =x2  =x x+2=x2.
    這里推理的第一步是錯誤的(請同學補充說明具體錯在哪里).
    評述:此題的解答比較注重邏輯推理.事實上,也可以從真值集合方面來分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x =x2的真值集合是{0,2},{-1,2} {0,2},而{0,2}  {-1,2},所以(1)(2)兩個結論都不對.
    ●闖關訓練
    夯實基礎
    1.(XX年重慶,7)已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q成立的
    a.充分不必要條件       b.必要不充分條件