充要條件與反證法

    答案:a
    8.已知關于x的一元二次方程mx2-4x+4=0,           ①
    x2-4mx+4m2-4m-5=0.                  ②
    求使方程①②都有實根的充要條件.
    解:方程①有實數根的充要條件是δ1=(-4)2-16m≥0,即m≤1;
    方程②有實數根的充要條件是δ2=(4m)2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥- .
    ∴方程①②都有實數根的充要條件是- ≤m≤1.
    9.已知a、b、c是互不相等的非零實數.
    求證:三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.
    證明:反證法:
    假設三個方程中都沒有兩個相異實根,
    則δ1=4b2-4ac≤0,δ2=4c2-4ab≤0,δ3=4a2-4bc≤0.
    相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
    (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.             ①
    由題意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
    ∴假設不成立,即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.
    探究創新
    10.若x、y、z均為實數,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,則a、b、c中是否至少有一個大于零?請說明理由.
    解:假設a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,則a+b+c≤0.
    而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
    ∵π-3>0,且無論x、y、z為何實數,
    (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
    ∴a+b+c>0.這與a+b+c≤0矛盾.因此,a、b、c中至少有一個大于0.
    ●思悟小結
    1.要注意一些常用的"結論否定形式",如"至少有一個至多有一個都是"的否定形式是"一個也沒有至少有兩個不都是".
    2.證明充要性要從充分性、必要性兩個方面來證明.
    ●教師下載中心
    教學點睛
    1.掌握常用反證法證題的題型,如含有"至少有一個至多有一個"等字眼多用反證法.
    2.強調反證法的第一步,要與否命題分清.
    3.要證明充要性應從充分性、必要性兩個方面來證.
    拓展題例
    【例題】 指出下列命題中,p是q的什么條件.
    (1)p:0<x<3,q:|x-1|<2;
    (2)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;
    (3)p:c=0,q:拋物線y=ax2+bx+c過原點.
    解:(1)p:0<x<3,q:-1<x<3.
    p是q的充分但不必要條件.
    (2)p q,q p.p是q的必要但不充分條件.
    (3)p是q的充要條件.
    評述:依集合的觀點看,若a b,則a是b的充分條件,b是a的必要條件;若a=b,則a是b的充要條件.