四種命題
運用反證法證實這個問題首先是根據“至少有兩個學生在同一天過生日”的反面是“任何兩個學生都不在同一天過生日”,也就是反設“假設任何兩個學生都不在同一天過生日”,從這個反設出發就會推出這
367人就會有不同的367天過生日,這就出現了與一年只有365天(閏年366天)的矛盾.產生這個矛盾的來源是由于開始的反設,因此反設不成立,這樣得出了“至少有兩個學生在同一天過生日”的結論.
設計意圖:
以生活中的實際例子拉近學生與反證法的距離,激發學生的學習愛好.
板書反證法證題的步驟:
1.反設; 2.歸謬; 3.結論
例用反證法證實:圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.
已知:如圖,在⊙o中,弦 ab、cd相交于 p點,且 ab、cd不是直徑.
求證:弦ab、cd不被p點平分.
設問用反證法證實這道題如何進行反設?怎樣進行歸謬?
引導討論“弦ab、cd不被p點平分”的反面是“弦ab、cd被p點平分”,因而反設是“假設弦ab、cd被p點平分”.
學生活動:
思考后分組討論,互相補充.
設計意圖:
在關鍵處設問,激勵學生探究精神,提高運用反證法的能力.
教師活動:
由于p點不是圓心o,連結op,由垂徑定理的推論得 , ,這樣過p點有兩條直線與op都垂直,與垂線的性質矛盾.
結論是“弦ab、cd不被p點平分”成立.
這道題用反證法證實還有一個方法.
連結 ad、bd、bc、ac·
提問用反證法證實怎樣反設?怎樣歸謬?
反設仍是“弦ab、cd能被p點平分”.
學生活動:
討論后回答
因為 ,所以四邊形abcd是平行四邊形,而圓內接平行四邊形必是矩形,則其對角線ab、cd必是圓o的直徑,這與假設矛盾,所以結論“弦ab、cd不被p點平分”成立·
設計意圖:
讓學生進一步體會在反證法中如何進行反充、歸謬.
教師活動:
練習用反證法證實 不是有理數
證實:假設 是有理數,則 可表示為 ( , 為自然數,且互質)
兩邊平方,得
①
由①知 必是2的倍數,進而 必是2的倍數.
令 代入①式,得
②
由②知, 必是2的倍數, 和 都是2的倍數,則 、 不互質,與假定 、 互質相矛盾, 不是有理數.
設計意圖:
鞏固練習.
教師活動:
例用反證法證實:假如 ,那么 .
剖析運用反證法證實這道題時,怎樣進行反設? 的反面是否僅有 ?
證實:假設 不小于 ,則或者 ,或者
當 ,因為 ,所以