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三角形的內(nèi)切圓

三角形的內(nèi)切圓

1、教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

(2)重點、難點分析

重點:三角形內(nèi)切圓的概念及內(nèi)心的性質(zhì).因為它是三角形的重要概念之一.

難點:①難點是“接”與“切”的含義,學(xué)生容易混淆;②畫三角形內(nèi)切圓,學(xué)生不易畫好.

2、教學(xué)建議

本節(jié)內(nèi)容需要一個課時.

(1)在教學(xué)中,組織學(xué)生自己畫圖、類比、分析、深刻理解三角形內(nèi)切圓的概念及內(nèi)心的性質(zhì);

(2)在教學(xué)中,類比“三角形外接圓的畫圖、概念、性質(zhì)”,開展活動式教學(xué).

教學(xué)目標(biāo) 

1、使學(xué)生了解尺規(guī)作的方法,理解三角形和多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切三角形和圓的外切多邊形、三角形內(nèi)心的概念;

2、應(yīng)用類比的數(shù)學(xué)思想方法研究內(nèi)切圓,逐步培養(yǎng)學(xué)生的研究問題能力;

3、激發(fā)學(xué)生動手、動腦主動參與課堂教學(xué)活動.

教學(xué)重點

三角形內(nèi)切圓的作法和三角形的內(nèi)心與性質(zhì).

教學(xué)難點 

三角形內(nèi)切圓的作法和三角形的內(nèi)心與性質(zhì).

教學(xué)活動設(shè)計

一)提出問題

1、提出問題:如圖,你能否在△ABC中畫出一個圓?畫出一個最大的圓?想一想,怎樣畫?

2、分析、研究問題:

讓學(xué)生動腦筋、想辦法,使學(xué)生認(rèn)識作三角形內(nèi)切圓的實際意義.

3、解決問題:

例1  作圓,使它和已知三角形的各邊都相切.

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖,寫出已知、求作,然后師生共同分析,尋找作法.

提出以下幾個問題進(jìn)行討論:

①作圓的關(guān)鍵是什么?

②假設(shè)⊙I是所求作的圓,⊙I和三角形三邊都相切,圓心I應(yīng)滿足什么條件?

③這樣的點I應(yīng)在什么位置?

④圓心I確定后半徑如何找.

A層學(xué)生自己用直尺圓規(guī)準(zhǔn)確作圖,并敘述作法;B層學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成.

完成這個題目后,啟發(fā)學(xué)生得出如下結(jié)論: 和三角形的各邊都相切的圓可以作一個且只可以作出一個.

(二)類比聯(lián)想,學(xué)習(xí)新知識.

1、概念:和三角形各邊都相切的圓叫做,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,這個三角形叫做圓的外切三角形.

2、類比:

名稱

確定方法

圖形

性質(zhì)

外心(三角形外接圓的圓心)

三角形三邊中垂線的交點

(1)OA=OB=OC;

(2)外心不一定在三角形的內(nèi)部.

內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)

三角形三條角平分線的交點

(1)到三邊的距離相等;

(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;

(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

3、概念推廣:和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓,這個多邊形叫做圓的外切多邊形.

4、概念理解:

引導(dǎo)學(xué)生理解及圓的外切三角形的概念,并與三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形概念相比較,以加深對這四個概念的理解.使學(xué)生弄清“內(nèi)”與“外”、“接”與“切”的含義.“接”與“切”是說明三角形的頂點和邊與圓的關(guān)系:三角形的頂點都在圓上,叫做“接”;三角形的邊都與圓相切叫做“切”.
三)應(yīng)用與反思

例2 如圖,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,點O是三角形的內(nèi)心.

求∠BOC的度數(shù)

分析:要求∠BOC的度數(shù),只要求出∠OBC和∠0CB的度數(shù)之和就可,即求∠l十∠3的度數(shù).因為O是△ABC的內(nèi)心,所以O(shè)B和OC分別為∠ABC和∠BCA的平分線,于是有∠1十∠3= (∠ABC十∠ACB),再由三角形的內(nèi)角和定理易求出∠BOC的度數(shù).

解:(引導(dǎo)學(xué)生分析,寫出解題過程)

例3 如圖,△ABC中,E是內(nèi)心,∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D

求證:DE=DB

分析:從條件想,E是內(nèi)心,則E在∠A的平分線上,同時也在∠ABC的平分線上,考慮連結(jié)BE,得出∠3=∠4.

從結(jié)論想,要證DE=DB,只要證明BDE為等腰三角形,同樣考慮到連結(jié)BE.于是得到下述法.

證明:連結(jié)BE.

E是△ABC的內(nèi)心

又∵∠1=∠2

∠1=∠2

∴∠1+∠3=∠4+∠5

∴∠BED=∠EBD

∴DE=DB

練習(xí) 分析作出已知的銳角三角形、直角三角形、鈍角,并說明三角形的內(nèi)心是否都在三角形內(nèi).

(四)小結(jié)

1.教師先向?qū)W生提出問題:這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些概念?怎樣作已知?學(xué)習(xí)時互該注意哪些問題?

2.學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,歸納總結(jié):

(1)學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形的概念.

(2)利用作三角形的內(nèi)角平分線,任意兩條角平分線的交點就是內(nèi)切圓的圓心,交點到任意一邊的距離是圓的半徑.

(3)在學(xué)習(xí)有關(guān)概念時,應(yīng)注意區(qū)別“內(nèi)”與“外”,“接”與“切”;還應(yīng)注意“連結(jié)內(nèi)心和三角形頂點”這一輔助線的添加和應(yīng)用.

(五)作業(yè) 

教材P115習(xí)題中,A組1(3),10,11,12題;A層學(xué)生多做B組3題.

探究活動

問題:如圖1,有一張四邊形ABCD紙片,且AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,∠B=90°.

(1)要把該四邊形裁剪成一個面積最大的圓形紙片,你能否用折疊的方法找出圓心,若能請你度量出圓的半徑(精確到0.1cm);

(2)計算出最大的圓形紙片的半徑(要求精確值).

提示:(1)由條件可得AC為四邊形似的對稱軸,存在內(nèi)切圓,能用折疊的方法找出圓心:

如圖2,①以AC為軸對折;②對折∠ABC,折線交AC于O;③使折線過O,且EB與EA邊重合.則點O為所求圓的圓心,OE為半徑.

(2)如圖3,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則通過面積可得:6r+8r=48,∴r=.

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