和圓有關的比例線段
當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時,由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長pa,pb,pt之間又有什么關系?
2、猜想:引導學生猜想出圖中三條線段pt,pa,pb間的關系為pt2=pa·pb.
3、證實:
讓學生根據圖2寫出已知、求證,并進行分析、證實猜想.
分析:要證pt2=pa·pb, 可以證實,為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt,bp為邊的三角形相似,于是考慮作輔助線tp,pb.(圖3).輕易證實∠pta=∠b又∠p=∠p,因此△bpt∽△tpa,于是問題可證.
4、引導學生用語言表達上述結論.
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.
(二)切割線定理的推論
1、再提出問題:當pb、pd為兩條割線時,線段pa,pb,pc,pd之間有什么關系?
觀察圖4,提出猜想:pa·pb=pc·pd.
2、組織學生用多種方法證實:
方法一:要證pa·pb=pc·pd,可證此可證以pa,pc為邊的三角形和以pd,pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線ac,bd,輕易證實∠pac=∠d,∠p=∠p,因此△pac∽△pdb. (如圖4)
方法二:要證,還可考慮證實以pa,pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線ad、cb.輕易證實∠b=∠d,又∠p=∠p. 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三:引導學生再次觀察圖2,立即會發現.pt2=pa·pb,同時pt2=pc·pd,于是可以得出pa·pb=pc·pd.pa·pb=pc·pd
推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)
(三)初步應用
例1 已知:如圖6,⊙o的割線pab交⊙o于點a和b,pa=6厘米,ab=8厘米, po=10.9厘米,求⊙o的半徑.
分析:由于po既不是⊙o的切線也不是割線,故須將po延長交⊙o于d,構成了圓的一條割線,而od又恰好是⊙o的半徑,于是運用切割線定理的推論,問題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7,線段ab和⊙o交于點c,d,ac=bd,ae,bf分別切⊙o于點e,f,
求證:ae=bf.
分析:要證實的兩條線段ae,bf均與⊙o相切,且從a、b 兩點出發引的割線acd和bdc在同一直線上,且ac=bd,ad=bc. 因此它們的積相等,問題得證.
學生自主完成,教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤,如ae2=ac·cd和bf2=bd·dc等.
鞏固練習:p128練習1、2題
(四)小結
知識:切割線定理及推論;
能力:結合具體圖形時,應能寫出正確的等積式;
方法:在證實切割線定理和推論時,所用的構造相似三角形的方法十分重要,應注重很好地把握.
(五)作業教材p132中,11、12題.
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