數學教案－用公式解一元二次方程12.1 用公式解一元二次方程（一）

12.1  用公式解一元二次方程（一）

一、素質教育目標

（一）知識教學點：1.使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；2.掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項.

（二）能力訓練點：1.通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題和解決問題的能力；2.通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性.

（三）德育滲透點：由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養學生用數學的意識.

二、教學重點、難點

1.教學重點：一元二次方程的意義及一般形式.

2.教學難點 ：正確識別一般式中的“項”及“系數”.

三、教學步驟 

（一）明確目標

1.用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程.學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養學生手、腦、眼并用的能力.

2.現有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm²的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？

教師啟發學生設未知數、列方程，經整理得到方程x²-70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題.

板書：“第十二章一元二次方程”.教師恰當的語言，激發學生的求知欲和學習興趣.

（二）整體感知

通過章前引例和節前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數學的意義；產生用數學的意識，調動學生積極主動參與數學活動中.同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1.復習提問

（1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？

（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？

（3）什么叫做分式方程？

問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊.

2.引例：剪一塊面積為150cm²的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？

引導，啟發學生設未知數列方程，并整理得方程x²+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x²＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念.

整式方程：方程的兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程稱為整式方程.

一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.

一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定義的.一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一個未知數”，“二次”指的是“未知數的最高次數是2”.“元”和“次”的概念搞清楚則給定義一元三次方程等打下基礎.一元二次方程的定義是指方程進行合并同類項整理后而言的.這實際上是給出要判定方程是一元二次方程的步驟：首先要進行合并同類項整理，再按定義進行判斷.

3.練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x²；

（2）7x²＋6＝2x（3x＋1）；

（3）

（4）6x²＝x；

（5）2x²＝5y；

（6）-x²＝0

4.任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式.

一元二次方程的一般形式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0）.ax²稱二次項，bx稱一次項，c稱常數項，a稱二次項系數，b稱一次項系數.

一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax²+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解.

5.例1  把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數，一次項系數及常數項？

教師邊提問邊引導，板書并規范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.

6.練習1：教材P.5中1，2.要求多數學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價.題目答案不唯一，最好二次項系數化為正數.

練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數、一次項系數、常數項.

8mx-2m-1＝0；（4）（b²＋1）x²-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.

教師提問及恰當的引導，對學生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化.

（四）總結、擴展

引導學生從下面三方面進行小結.從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區別和聯系？

1.將實際問題用設未知數列方程轉化為數學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法.

2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數、一次項系數及常數項.歸納所學過的整式方程.

3.一元二次方程的意義與一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的區別和聯系.強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義.

四、布置作業 

1.教材P.6 練習2.

2.思考題：

1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x²項的方程叫做一元二次方程？”

2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）.

五、板書設計 

六、課后習題參考答案

教材P.6A2.

教材P.6B1、2.

1.（1）二次項系數：ab  一次項系數：c  常數項：d.

（2）二次項系數： m-n  一次項系數：0  常數項：m＋n.

2.一般形式：（m＋n）x²+（m-n）x＋p-q＝0（m＋n≠0）二次項系數：m＋n，一次項系數：m－n，常數項：p－q.

思考題

（1）不能.如x³＋2x²－4x＝5.

（2）一元三次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是3，這樣的整式方程叫做一元三次方程.一般形式：ax³＋bx²＋cx＋d＝0（a≠0）.

一元四次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是4，這樣的整式方程叫做一元四次方程.一般形式：ax⁴＋bx³＋cx²＋dx＋e＝0（a≠0）.