兩點(diǎn)之間，線段最短
三、回顧、思考與交流
設(shè)想自己是一名園林設(shè)計(jì)師或者是一名管理者，在進(jìn)行公共綠地設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)情境一的一些思考與探討能給你一些什么啟發(fā)。
四、作業(yè)
對(duì)螞蟻爬行最短問(wèn)題的再思考：如果螞蟻在長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，如果螞蟻在圓柱上，這時(shí)問(wèn)題發(fā)生怎樣的變化？問(wèn)題如何解？
請(qǐng)把你對(duì)此問(wèn)題的研究寫成數(shù)學(xué)小作文，注意寫出自己的情感體驗(yàn)。
學(xué)習(xí)思考、組內(nèi)交流、組間交流
學(xué)習(xí)、反思，提高、升華
效果檢測(cè)
1、通過(guò)課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的展示與交流，學(xué)生對(duì)學(xué)生進(jìn)行相互評(píng)價(jià)
2、在學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中教師注意及時(shí)地鼓勵(lì)、指導(dǎo)、點(diǎn)評(píng)，實(shí)施過(guò)程評(píng)價(jià)
3、課后要求學(xué)生“螞蟻爬行最短”問(wèn)題進(jìn)行繼續(xù)研究，并寫出數(shù)學(xué)小作文。
附件──本節(jié)課的后續(xù)影響的例舉
關(guān)于最短路徑思考
黃博陽(yáng)
我們已經(jīng)學(xué)過(guò)“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)數(shù)學(xué)公理了。這看似簡(jiǎn)單的八個(gè)字蘊(yùn)涵著許多奧妙，將它擴(kuò)展、延伸可得到一個(gè)最短路徑問(wèn)題、即求連接a、b兩點(diǎn)的線段中哪一條最短。
當(dāng)a、b在同一平面內(nèi)時(shí)，即使是從北京到天津，我們也可以輕松地利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”得出線段ab是a、b兩點(diǎn)間的最短路徑（如圖1-1）。
圖1-1
有人會(huì)說(shuō)：“這也太簡(jiǎn)單了！”別著急，請(qǐng)看下面這道題（如圖2-1）：
圖2-1
有一位將軍騎著馬要從a地走到b地，但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近。這道題乍一看似乎無(wú)從下手。但經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此題依然可以利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決問(wèn)題，具體方法為：做b點(diǎn)與河面的對(duì)稱點(diǎn)b＇,連接ab＇，可得到馬喝水的地方c（如圖2-2）。
圖2-2
再連接cb得到這道題的解a→c→b。這就是著名的“將軍飲馬”問(wèn)題。不信的話你可以在河邊任意取一點(diǎn)c＇連接ac＇和c＇b，比較一下就知道了。
明白了剛才的平面問(wèn)題，接下來(lái)看看立體圖形問(wèn)題（如圖3-1）。
圖3-1
求點(diǎn)a到點(diǎn)c＇的最短路徑是那一條。此時(shí)已不在同一平面內(nèi)，不能直接利用公理解決問(wèn)題。此時(shí)，就要利用數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形來(lái)研究（如圖3-2）。
圖3-2
從而得到兩條最短路徑：a→bc→c＇和a→cd→c＇。同理，還可以得出6條最短路徑來(lái)(如圖3-345)。
圖3-3 圖3-4 圖3-5
分別為：a→bc→c＇、a→cd→c＇、a→dd＇→c＇、a→bb＇→c＇、a→a＇d＇→c＇、a→a＇b＇→c＇。
那長(zhǎng)方體的最短路徑呢？我們來(lái)看一下這題（如圖4-1）
圖4-1
從a＇到c，不經(jīng)過(guò)a＇b＇c＇d＇和abcd兩面，怎樣走最近？我們不如先不考慮第二個(gè)條件，從上題可知有六條最短路徑，但此題與上題略有不同──長(zhǎng)方體各面不相等，因此我們需比較那條路徑最短。觀察發(fā)現(xiàn)這六條路徑，兩兩長(zhǎng)度相等，即只比較這三條路徑誰(shuí)更短就可以了（如圖4-23）。
圖4-2 圖4-3
解：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，依題意，得：
①=
②=
③=
∵ 2xy＞2xz＞2yz
∴ ③＜②＜①
即走第三條路徑最短。
得到從a＇到c的路徑中從a＇→bb＇→c和a＇→dd＇→c最短，與第二個(gè)已知條件無(wú)關(guān)。
平面是這樣，那曲面呢？我們?cè)倏匆活}（如圖5-1），從a到b，怎樣走最近呢？與前兩題相同，把圓柱體展開（如圖5-2），此時(shí)，只有a點(diǎn)位于與長(zhǎng)方形的交界處時(shí)，才是最短路徑，且只有一條最短路徑ab。