兩點之間,線段最短
圖5-1 圖5-2
從上面幾題可以看出立體圖形中的最短路徑問題,都可先把立題圖形轉化成平面圖形再思考。而且得出正方體有6條最短路徑;長方體有2條最短路徑;圓柱有1條最短路徑。這短短的八個字還真是奧妙無窮啊!
教師注:初一剛入學不久的學生,能把問題一個問題表述得如此清晰,很是難能可貴。不足之處是在對圓柱體問題的探究中考慮不周,有其他可能未進行探究。繼續努力,力爭把問題研究的更清楚、更透徹。
兩點之間線段最短的探究與再思考
原靜雯
初一上學期,我們學習了兩點之間線段最短的知識,并利用它作了一節課,相信大家對它還是記憶猶新的。自從那次課后,不知大家有沒有進行更深的思考,小人不才,愿用這貧乏的文字,說一說我的想法。
探究問題一:已知,a,b在直線l的兩側,在l上求一點,使得pa+pb最小。(如圖所示)
解:根據兩點之間線段最短的基本概念,只用連接ab即可輕松的得到答案。如圖所示。線段ab與直線l的交點,就是題目要求的點p。
總結:本題雖然十分簡單,但卻是所有有關本類題目難題的基礎,是必須要牢記與掌握的。下面一題,就是上一題的變形,你還會做嗎?
探究問題二:已知,a,b在直線l的同一側,在l上求一點,使得pa+pb最小。(如圖所示)
解:本題的難點不在于解題過程,而在于解題的思想,往往大家不能正確的找到解題的思路。那么,我就在此拋磚引玉,說說我的看法。首先,作點b關于l的對稱點b',(如圖所示),因為ob'=ob,∠bop=∠b',op=op,所以△opb≌△opb'。所以,pb=pb'。因此,求ap+bp就相當于求ap+pb'。這樣,復雜的問題便通過轉化變得簡單,成了探究問題一。因此只用連接ab'即可,與直線l的交點,就是題目要求的點p。
結論:我們完全也可以把以上的結論當作一個模塊牢記下來,成為自己解題的方法之一。
探究問題三:a是銳角mon內部任意一點,在∠mon的兩邊om,on上各取一點b,c,組成三角形,使三角形周長最小。(如圖所示)
解:利用探究問題二的結論,作a與om的對稱點d,再作a與on的對稱點e。連接de(如圖所示),據上題鋪墊,我們可得,ab=bd,ac=ce,又因為d,b,c,e在一條直線上,所以,這時的周長是最短的。
總結:本題可總結為“三角形的一點決定”。下面我們看一看四邊形一邊確定。
探究問題四:ab是銳角mon內部一條線段,在角mon的兩邊om,on上各取一點c,d組成四邊形,使四邊形周長最小。(如圖所示)
解:有了上一題的鋪墊,本題似乎簡單了許多,作a關于om的對稱點e,再作b關于on的對稱點f,連接ef即可。如圖。abcd便是周長最小的。