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一次函數的圖象和性質

一次函數的圖象和性質

一、目的要求

    1.使學生能畫出正比例函數與一次函數的圖象。

    2.結合圖象,使學生理解正比例函數與一次函數的性質。

    3.在學習的基礎上,使學生進一步理解正比例函數和一次函數的概念。

    二、內容分析

    1、對函數的研究,在初中階段,只能是初步的。從方法上,是用初等方法,即傳統的初等數學的方法,而不是用極限、導數等高等數學的基本工具,并且,比起高中對函數的研究,更多地依賴于圖象的直觀,從研究的內容上,通常,包括定義域、值域、函數的變化特征等方面。關于定義域,只是在開始學習函數概念時,有一個一般的簡介,在具體學習幾種數時,就不一一單獨講述了,關于值域,初中暫不涉及,至于函數的變化特征,像上升、下降、極大、極小,以及奇、偶性、周期性,連續性等,初中只就一次函數與反比例函效的升降問題略作介紹,其它,在初中都不做為基本教學要求。

    2、關于一次函數圖象是直線的問題,在前面學習13.3節時,利用幾何學過的角平分線的性質,對函數y=x的圖象是一條直線做了一些說明,至于其它種類的一次函數,則只是在描點畫圖時,從直觀上看出,它們的圖象也都是一條直線,教科書沒有對這個結論進行嚴格的論證,對于學生,只要求他們能結合y=x的圖象以及其它一些一次函數圖象的實例,對這個結論有一個直觀的認識就可以了。

    三、教學過程 

    復習提問:

    1.什么是一次函數?什么是正比例函數?

    2.在同一直角坐標系中描點畫出以下三個函數的圖象:

y=2x   y=2x-1   y=2x+1

    新課講解:

    1.我們畫過函數y=x的圖象,并且知道,函數y=x的圖象上的點的坐標滿足橫坐標與縱坐標相等的條件,由幾何上學過的角平分線的性質,可以判斷,函數y=x,這是一個一次函數(也是正比例函數),它的圖象是一條直線。

    再看復習提問的第2題,所畫出的三個一次函數的圖象,從直觀上看,也分別是一條直線。

    一般地,一次函數的圖象是一條直線。

    前面我們在畫一次函數的圖象時,采用先列表、描點,再連續的方法.現在,我們明確了一次函數的圖象都是一條直線。因此,在畫一次函數的圖象時,只要在坐標平面內描出兩個點,就可以畫出它的圖象了。

    先看兩個正比例項數,

   y=0.5x

 與 y=-0.5x

由這兩個正比例函數的解析式不難看出,當x=0時,

    y=0

即函數圖象經過原點.(讓學生想一想,為什么?)

除了點(0,0)之外,對于函數y=0.5x,再選一點(1,0.5),對于函數y=-0.5x。再選一點(1,一0.5),就可以分別畫出這兩個正比例函數的圖象了。

    實際畫正比例函數y=kx(k≠0)的圖象,一般按以以下三步:

    (1)先選取兩點,通常選點(0,0)與點(1,k);

    (2)在坐標平面內描出點(0, o)與點(1,k);

    (3)過點(0,0)與點(1,k)做一條直線.

    這條直線就是正比例函數y=kx(k≠0)的圖象.

    觀察正比例函數  y=0.5x 的圖象.

  這里,k=0.5>0.

  從圖象上看, y隨x的增大而增大.

  再觀察正比例函數 y=-0.5x  的圖象。

    這里,k=一0.5<0

    從圖象上看, y隨x的增大而減小

    實際上,我們還可以從解析式本身的特點出發,考慮正比例函數的性質.

    先看

y=0.5x

任取兩對對應值. (x1,y1)與(x2,y2),

如果x1>x2,由k=0.5>0,得
    0.5x1>0.5x2

   yl>y2

這就是說,當x增大時,y也增大。

類似地,可以說明的y=-0.5x  性質。

從解析式本身特點出發分析正比例函數性質,可視學生程度考慮是否向學生介紹。

一般地,正比例函數y=kx(k≠0)有下列性質:

    (1)當k>0時,y隨x的增大而增大;

    (2)當k<0時,y隨x的增大而減小。

    2、講解教科書13.5節例1.與畫正比例函數圖象類似,畫一次函數圖象的關鍵是選取適當的兩點,然后連線即可,為了描點方便,對于一次函數

y=kx+b(k,b是常數,k≠0)

 通常選取

(o,b)與(-

兩點,

    對于例 l中的一次函效

y=2x+1與y=-2x+1

就分別選取

 (o,1)與(一0.5,2),

還有

(0,1)—與(0.5.0).

    在例1之后,順便指出,一次函數y=kx+b的圖象,習慣上也稱為直線) y=kx+b

    結合例1中的兩個一次函數的圖象,就可以得到與正比例函數類似的關于一次函數的兩條性質。

    對于一次函數的性質,也可以從一次函數的解析式分析得出,這與正比例函數差不多。

    課堂練習:

    教科書13.5節第一個練習第l—2題,在做這兩道練習時,可結合實例進一步說明正比例函數與一次函數的有關性質。

    課堂小結:

    1.正比例函數y=kx圖象的畫法:過原點與點(1,k)的直線即所求圖象.

    2. 一次函數y=kx+b圖象的畫法:在y軸上取點(0,6),在x軸上取點,0),過這兩點的直線即所求圖象.

    3.正比例函數y=kx與一次函數y=kx+b的性質(由學生自行歸納).

    四、課外作業 

    1.教科書習題13.5a組第l一3題.

    2.選作教科書習題13.5b組第1題.

 

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