一次函數的圖象和性質(精選8篇)
一次函數的圖象和性質 篇1
一、目的要求
1.使學生能畫出正比例函數與一次函數的圖象。
2.結合圖象,使學生理解正比例函數與一次函數的性質。
3.在學習的基礎上,使學生進一步理解正比例函數和一次函數的概念。
二、內容分析
1、對函數的研究,在初中階段,只能是初步的。從方法上,是用初等方法,即傳統的初等數學的方法,而不是用極限、導數等高等數學的基本工具,并且,比起高中對函數的研究,更多地依賴于圖象的直觀,從研究的內容上,通常,包括定義域、值域、函數的變化特征等方面。關于定義域,只是在開始學習函數概念時,有一個一般的簡介,在具體學習幾種數時,就不一一單獨講述了,關于值域,初中暫不涉及,至于函數的變化特征,像上升、下降、極大、極小,以及奇、偶性、周期性,連續性等,初中只就一次函數與反比例函效的升降問題略作介紹,其它,在初中都不做為基本教學要求。
2、關于一次函數圖象是直線的問題,在前面學習13.3節時,利用幾何學過的角平分線的性質,對函數y=x的圖象是一條直線做了一些說明,至于其它種類的一次函數,則只是在描點畫圖時,從直觀上看出,它們的圖象也都是一條直線,教科書沒有對這個結論進行嚴格的論證,對于學生,只要求他們能結合y=x的圖象以及其它一些一次函數圖象的實例,對這個結論有一個直觀的認識就可以了。
三、教學過程
復習提問:
1.什么是一次函數?什么是正比例函數?
2.在同一直角坐標系中描點畫出以下三個函數的圖象:
y=2x y=2x-1 y=2x+1
新課講解:
1.我們畫過函數y=x的圖象,并且知道,函數y=x的圖象上的點的坐標滿足橫坐標與縱坐標相等的條件,由幾何上學過的角平分線的性質,可以判斷,函數y=x,這是一個一次函數(也是正比例函數),它的圖象是一條直線。
再看復習提問的第2題,所畫出的三個一次函數的圖象,從直觀上看,也分別是一條直線。
一般地,一次函數的圖象是一條直線。
前面我們在畫一次函數的圖象時,采用先列表、描點,再連續的方法.現在,我們明確了一次函數的圖象都是一條直線。因此,在畫一次函數的圖象時,只要在坐標平面內描出兩個點,就可以畫出它的圖象了。
先看兩個正比例項數,
y=0.5x
與 y=-0.5x
由這兩個正比例函數的解析式不難看出,當x=0時,
y=0
即函數圖象經過原點.(讓學生想一想,為什么?)
除了點(0,0)之外,對于函數y=0.5x,再選一點(1,0.5),對于函數y=-0.5x。再選一點(1,一0.5),就可以分別畫出這兩個正比例函數的圖象了。
實際畫正比例函數y=kx(k≠0)的圖象,一般按以以下三步:
(1)先選取兩點,通常選點(0,0)與點(1,k);
(2)在坐標平面內描出點(0, o)與點(1,k);
(3)過點(0,0)與點(1,k)做一條直線.
這條直線就是正比例函數y=kx(k≠0)的圖象.
觀察正比例函數 y=0.5x 的圖象.
這里,k=0.5>0.
從圖象上看, y隨x的增大而增大.
再觀察正比例函數 y=-0.5x 的圖象。
這里,k=一0.5<0
從圖象上看, y隨x的增大而減小
實際上,我們還可以從解析式本身的特點出發,考慮正比例函數的性質.
先看
y=0.5x
任取兩對對應值. (x1,y1)與(x2,y2),
如果x1>x2,由k=0.5>0,得
0.5x1>0.5x2
即 yl>y2
這就是說,當x增大時,y也增大。
類似地,可以說明的y=-0.5x 性質。
從解析式本身特點出發分析正比例函數性質,可視學生程度考慮是否向學生介紹。
一般地,正比例函數y=kx(k≠0)有下列性質:
(1)當k>0時,y隨x的增大而增大;
(2)當k<0時,y隨x的增大而減小。
2、講解教科書13.5節例1.與畫正比例函數圖象類似,畫一次函數圖象的關鍵是選取適當的兩點,然后連線即可,為了描點方便,對于一次函數
y=kx+b(k,b是常數,k≠0)
通常選取
(o,b)與(-
兩點,
對于例 l中的一次函效
y=2x+1與y=-2x+1
就分別選取
(o,1)與(一0.5,2),
還有
(0,1)—與(0.5.0).
在例1之后,順便指出,一次函數y=kx+b的圖象,習慣上也稱為直線) y=kx+b
結合例1中的兩個一次函數的圖象,就可以得到與正比例函數類似的關于一次函數的兩條性質。
對于一次函數的性質,也可以從一次函數的解析式分析得出,這與正比例函數差不多。
課堂練習:
教科書13.5節第一個練習第l—2題,在做這兩道練習時,可結合實例進一步說明正比例函數與一次函數的有關性質。
課堂小結:
1.正比例函數y=kx圖象的畫法:過原點與點(1,k)的直線即所求圖象.
2. 一次函數y=kx+b圖象的畫法:在y軸上取點(0,6),在x軸上取點,0),過這兩點的直線即所求圖象.
3.正比例函數y=kx與一次函數y=kx+b的性質(由學生自行歸納).
四、課外作業
1.教科書習題13.5a組第l一3題.
2.選作教科書習題13.5b組第1題.
一次函數的圖象和性質 篇2
教學目標 :
1、使學生能進一步理解函數的定義,根據實際情況求函數的定義域,并能利用函數解決實際問題中的最值問題。
2、滲透函數的數學思想,培養學生的數學建模能力,以及解決實際問題的能力。
3、能初步建立應用數學的意識,體會到數學的抽象性和廣泛應用性。
教學重點:
1、從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式。
2、通過函數的性質及定義域范圍求函數的最值。
教學難點 :
從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式
教學方法:討論式教學法
教學過程 :
例1、A校和B校各有舊電腦12臺和6臺,現決定送給C校10臺、D校8臺,已知從A校調一臺電腦到C校、D校的費用分別是40元和80元,從B校調運一臺電腦到C校、D校的運費分別是30元和50元,試求出總運費最低的調運方案,最低運費是多少?
(1)幾分鐘讓學生認真讀題,理解題意
(2)由題意可知,一種調配方案,對應一個費用。不同的調配方案對應不同的費用,在這個變化過程中,調配方案決定了總費用。它們之間存在著一定的關系。究竟是什么樣的關系呢?需要我們建立數學模型,將之形式化、數學化。
解法(一)列表分析:
設從A校調到C校x臺,則調到D校(12―x)臺,B校調到C校是(10―x)臺。B校調到D校是[6-(10-x)]即(x-4)臺,總運費為y。
根據題意:
y =40x+80(12- x)+ 30(10-x)+50(x-4)
y =40x+960-80x+300-30x+50x-200
=-20x+1060(4≤x≤10,且x是正整數)
y =-20x+1060是減函數。
∴當x =10時,y有最小值ymin=860
∴調配方案為A校調到C校10臺,調到D校2臺,B校調到D校2臺。
解法(二)列表分析
設從A校調到D校有x臺,則調到C校(12―x)臺。B校調到C校是[10-(12-x)]即(x-2)臺。B校調到D校是(8―x)臺,總運費為y。
y =40(12 – x)+ 80x+ 30(x –2)+50(8-x)
=480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x
=20x +820(2≤x≤8,且x是正整數)
y =20x +820是增函數
∴x=2時,y有最小值ymin=860
調配方案同解法(一)
解法(三)列表分析:
解略
解法(四)列表分析:
解略
例2、公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品,規定試銷時的銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件。經試銷調查,發現銷售量y(件),與銷售單價x(元/件)可近似看作一次函數y =kx+b的關系
(1)根據圖象,求一次函數y =kx+b的表達式
(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價―成本總價)為s元
試用銷售單價x表示毛利潤s;
解:如圖所示
直線過點(600,400),(700,300)
∴400 =600k+b
300 =700k+b
k =-1,b =1000
∴ y =- x + 1000(500≤x≤800)
s =x(1000 – x)-500(1000 – x)
=1000x – x2 – 500000 + 500x
=- x2 + 1500x – 500000(500≤x≤800)
小結:本節課試圖讓學生體會到函數的本質是對應關系。在實際生活中,影響事物的因素往往是多方面的,而且它們之間存在一定的關系。數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。對于實際問題我們抽象概括出它的本質特征,將其數學化、形式化,形成數學模型。這個過程既體現了數學的高度抽象性,又因其高度的抽象性決定了數學的廣泛應用性。
作業 :略
探究活動
(1) 在邊防沙漠區,巡邏車每天行駛200千米,每輛巡邏車裝載供行駛14天的汽油.現有5輛巡邏車同時由駐地A出發,完成任務再返回A.為讓其余3輛盡可能向更遠距離巡邏(然后一起返回),甲、乙兩車行至途中B后,僅留足自己返回A必須的汽油,將多余的油給另3輛用,問另3輛行駛的最遠距離是多少千米.
(2)30名勞力承包75畝地,這些地可種蔬菜、玉米和雜豆.每畝蔬菜需0.5個勞力,預計畝產值2000元;每畝玉米需0.25個勞力,預計畝產值800元;每畝雜豆需0.125個勞力,預計畝產值550元.怎樣安排種植計劃,才能使總產值最大?最大產值是多少元?
答案:
(1)設巡邏車行至B處用x天,從B到最遠處用y天,則2[3(x+y)+2x]=14×5,即
又x>0,y>0,14×5-(5+2)x≤14×3,
所以x=4時,y取最大值5.另三輛車行駛最遠距離:(4+5)×200=1800(千米).
(2)設種蔬菜、玉米、雜豆各x、y、z畝,總產量u元.則
所以45≤x≤55,即種蔬菜55畝,雜豆20畝,最大產值為121000元.
(3)某果品公司急需汽車,但無力購買,公司經理想租一輛.一出租公司的出租條件為:每百千米租費110元;一個體出租車司機的條件為:每月付800元工資,另外每百千米付10元油費.問該果品公司租哪家的汽車合算?
解 設汽車每月所行里程為x百千米,于是,應付給出租公司的費用為y1=110x,應付給個體司機的費用為y2=800+10x.畫出它們的圖象,易得圖象交點坐標為(8,8800).由圖象可知,當x<8時,y1<y2;當x=8時,y1=y2,當x>8時,y1>y2.
綜合上述可知,汽車每月行駛里程少于800千米時,租國營出租汽車公司的汽車合算;每月行駛里程大于800千米時,租個體司機的汽車合算.因此,該果品公司應先估計一下每月用車的里程,然后根據估算的結果確定該租哪家的汽車.
一次函數的圖象和性質 篇3
教學目標:
1、使學生能進一步理解函數的定義,根據實際情況求函數的定義域,并能利用函數解決實際問題中的最值問題。
2、滲透函數的數學思想,培養學生的數學建模能力,以及解決實際問題的能力。
3、能初步建立應用數學的意識,體會到數學的抽象性和廣泛應用性。
教學重點:
1、從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式。
2、通過函數的性質及定義域范圍求函數的最值。
教學難點:
從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式
教學方法:討論式教學法
教學過程:
例1、A校和B校各有舊電腦12臺和6臺,現決定送給C校10臺、D校8臺,已知從A校調一臺電腦到C校、D校的費用分別是40元和80元,從B校調運一臺電腦到C校、D校的運費分別是30元和50元,試求出總運費最低的調運方案,最低運費是多少?
(1)幾分鐘讓學生認真讀題,理解題意
(2)由題意可知,一種調配方案,對應一個費用。不同的調配方案對應不同的費用,在這個變化過程中,調配方案決定了總費用。它們之間存在著一定的關系。究竟是什么樣的關系呢?需要我們建立數學模型,將之形式化、數學化。
解法(一)列表分析:
設從A校調到C校x臺,則調到D校(12―x)臺,B校調到C校是(10―x)臺。B校調到D校是[6-(10-x)]即(x-4)臺,總運費為y。
根據題意:
y =40x+80(12- x)+ 30(10-x)+50(x-4)
y =40x+960-80x+300-30x+50x-200
=-20x+1060(4≤x≤10,且x是正整數)
y =-20x+1060是減函數。
∴當x =10時,y有最小值ymin=860
∴調配方案為A校調到C校10臺,調到D校2臺,B校調到D校2臺。
解法(二)列表分析
設從A校調到D校有x臺,則調到C校(12―x)臺。B校調到C校是[10-(12-x)]即(x-2)臺。B校調到D校是(8―x)臺,總運費為y。
y =40(12 – x)+ 80x+ 30(x –2)+50(8-x)
=480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x
=20x +820(2≤x≤8,且x是正整數)
y =20x +820是增函數
∴x=2時,y有最小值ymin=860
調配方案同解法(一)
解法(三)列表分析:
解略
解法(四)列表分析:
解略
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一次函數的圖象和性質 篇4
教學目標 :
1、使學生能進一步理解函數的定義,根據實際情況求函數的定義域,并能利用函數解決實際問題中的最值問題。
2、滲透函數的數學思想,培養學生的數學建模能力,以及解決實際問題的能力。
3、能初步建立應用數學的意識,體會到數學的抽象性和廣泛應用性。
教學重點:
1、從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式。
2、通過函數的性質及定義域范圍求函數的最值。
教學難點 :
從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式
教學方法:討論式教學法
教學過程 :
例1、A校和B校各有舊電腦12臺和6臺,現決定送給C校10臺、D校8臺,已知從A校調一臺電腦到C校、D校的費用分別是40元和80元,從B校調運一臺電腦到C校、D校的運費分別是30元和50元,試求出總運費最低的調運方案,最低運費是多少?
(1)幾分鐘讓學生認真讀題,理解題意
(2)由題意可知,一種調配方案,對應一個費用。不同的調配方案對應不同的費用,在這個變化過程中,調配方案決定了總費用。它們之間存在著一定的關系。究竟是什么樣的關系呢?需要我們建立數學模型,將之形式化、數學化。
解法(一)列表分析:
設從A校調到C校x臺,則調到D校(12―x)臺,B校調到C校是(10―x)臺。B校調到D校是[6-(10-x)]即(x-4)臺,總運費為y。
根據題意:
y =40x+80(12- x)+ 30(10-x)+50(x-4)
y =40x+960-80x+300-30x+50x-200
=-20x+1060(4≤x≤10,且x是正整數)
y =-20x+1060是減函數。
∴當x =10時,y有最小值ymin=860
∴調配方案為A校調到C校10臺,調到D校2臺,B校調到D校2臺。
解法(二)列表分析
設從A校調到D校有x臺,則調到C校(12―x)臺。B校調到C校是[10-(12-x)]即(x-2)臺。B校調到D校是(8―x)臺,總運費為y。
y =40(12 – x)+ 80x+ 30(x –2)+50(8-x)
=480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x
=20x +820(2≤x≤8,且x是正整數)
y =20x +820是增函數
∴x=2時,y有最小值ymin=860
調配方案同解法(一)
解法(三)列表分析:
解略
解法(四)列表分析:
解略
例2、公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品,規定試銷時的銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件。經試銷調查,發現銷售量y(件),與銷售單價x(元/件)可近似看作一次函數y =kx+b的關系
(1)根據圖象,求一次函數y =kx+b的表達式
(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價―成本總價)為s元
試用銷售單價x表示毛利潤s;
解:如圖所示
直線過點(600,400),(700,300)
∴400 =600k+b
300 =700k+b
k =-1,b =1000
∴ y =- x + 1000(500≤x≤800)
s =x(1000 – x)-500(1000 – x)
=1000x – x2 – 500000 + 500x
=- x2 + 1500x – 500000(500≤x≤800)
小結:本節課試圖讓學生體會到函數的本質是對應關系。在實際生活中,影響事物的因素往往是多方面的,而且它們之間存在一定的關系。數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。對于實際問題我們抽象概括出它的本質特征,將其數學化、形式化,形成數學模型。這個過程既體現了數學的高度抽象性,又因其高度的抽象性決定了數學的廣泛應用性。
作業 :略
探究活動
(1) 在邊防沙漠區,巡邏車每天行駛200千米,每輛巡邏車裝載供行駛14天的汽油.現有5輛巡邏車同時由駐地A出發,完成任務再返回A.為讓其余3輛盡可能向更遠距離巡邏(然后一起返回),甲、乙兩車行至途中B后,僅留足自己返回A必須的汽油,將多余的油給另3輛用,問另3輛行駛的最遠距離是多少千米.
(2)30名勞力承包75畝地,這些地可種蔬菜、玉米和雜豆.每畝蔬菜需0.5個勞力,預計畝產值2000元;每畝玉米需0.25個勞力,預計畝產值800元;每畝雜豆需0.125個勞力,預計畝產值550元.怎樣安排種植計劃,才能使總產值最大?最大產值是多少元?
答案:
(1)設巡邏車行至B處用x天,從B到最遠處用y天,則2[3(x+y)+2x]=14×5,即
又x>0,y>0,14×5-(5+2)x≤14×3,
所以x=4時,y取最大值5.另三輛車行駛最遠距離:(4+5)×200=1800(千米).
(2)設種蔬菜、玉米、雜豆各x、y、z畝,總產量u元.則
所以45≤x≤55,即種蔬菜55畝,雜豆20畝,最大產值為121000元.
(3)某果品公司急需汽車,但無力購買,公司經理想租一輛.一出租公司的出租條件為:每百千米租費110元;一個體出租車司機的條件為:每月付800元工資,另外每百千米付10元油費.問該果品公司租哪家的汽車合算?
解 設汽車每月所行里程為x百千米,于是,應付給出租公司的費用為y1=110x,應付給個體司機的費用為y2=800+10x.畫出它們的圖象,易得圖象交點坐標為(8,8800).由圖象可知,當x<8時,y1<y2;當x=8時,y1=y2,當x>8時,y1>y2.
綜合上述可知,汽車每月行駛里程少于800千米時,租國營出租汽車公司的汽車合算;每月行駛里程大于800千米時,租個體司機的汽車合算.因此,該果品公司應先估計一下每月用車的里程,然后根據估算的結果確定該租哪家的汽車.
一次函數的圖象和性質 篇5
教學目標 :
1、使學生能進一步理解函數的定義,根據實際情況求函數的定義域,并能利用函數解決實際問題中的最值問題。
2、滲透函數的數學思想,培養學生的數學建模能力,以及解決實際問題的能力。
3、能初步建立應用數學的意識,體會到數學的抽象性和廣泛應用性。
教學重點:
1、從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式。
2、通過函數的性質及定義域范圍求函數的最值。
教學難點 :
從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式
教學方法:討論式教學法
教學過程 :
例1、A校和B校各有舊電腦12臺和6臺,現決定送給C校10臺、D校8臺,已知從A校調一臺電腦到C校、D校的費用分別是40元和80元,從B校調運一臺電腦到C校、D校的運費分別是30元和50元,試求出總運費最低的調運方案,最低運費是多少?
(1)幾分鐘讓學生認真讀題,理解題意
(2)由題意可知,一種調配方案,對應一個費用。不同的調配方案對應不同的費用,在這個變化過程中,調配方案決定了總費用。它們之間存在著一定的關系。究竟是什么樣的關系呢?需要我們建立數學模型,將之形式化、數學化。
解法(一)列表分析:
設從A校調到C校x臺,則調到D校(12―x)臺,B校調到C校是(10―x)臺。B校調到D校是[6-(10-x)]即(x-4)臺,總運費為y。
根據題意:
y =40x+80(12- x)+ 30(10-x)+50(x-4)
y =40x+960-80x+300-30x+50x-200
=-20x+1060(4≤x≤10,且x是正整數)
y =-20x+1060是減函數。
∴當x =10時,y有最小值ymin=860
∴調配方案為A校調到C校10臺,調到D校2臺,B校調到D校2臺。
解法(二)列表分析
設從A校調到D校有x臺,則調到C校(12―x)臺。B校調到C校是[10-(12-x)]即(x-2)臺。B校調到D校是(8―x)臺,總運費為y。
y =40(12 – x)+ 80x+ 30(x –2)+50(8-x)
=480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x
=20x +820(2≤x≤8,且x是正整數)
y =20x +820是增函數
∴x=2時,y有最小值ymin=860
調配方案同解法(一)
解法(三)列表分析:
解略
解法(四)列表分析:
解略
例2、公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品,規定試銷時的銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件。經試銷調查,發現銷售量y(件),與銷售單價x(元/件)可近似看作一次函數y =kx+b的關系
(1)根據圖象,求一次函數y =kx+b的表達式
(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價―成本總價)為s元
試用銷售單價x表示毛利潤s;
解:如圖所示
直線過點(600,400),(700,300)
∴400 =600k+b
300 =700k+b
k =-1,b =1000
∴ y =- x + 1000(500≤x≤800)
s =x(1000 – x)-500(1000 – x)
=1000x – x2 – 500000 + 500x
=- x2 + 1500x – 500000(500≤x≤800)
小結:本節課試圖讓學生體會到函數的本質是對應關系。在實際生活中,影響事物的因素往往是多方面的,而且它們之間存在一定的關系。數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。對于實際問題我們抽象概括出它的本質特征,將其數學化、形式化,形成數學模型。這個過程既體現了數學的高度抽象性,又因其高度的抽象性決定了數學的廣泛應用性。
作業 :略
探究活動
(1) 在邊防沙漠區,巡邏車每天行駛200千米,每輛巡邏車裝載供行駛14天的汽油.現有5輛巡邏車同時由駐地A出發,完成任務再返回A.為讓其余3輛盡可能向更遠距離巡邏(然后一起返回),甲、乙兩車行至途中B后,僅留足自己返回A必須的汽油,將多余的油給另3輛用,問另3輛行駛的最遠距離是多少千米.
(2)30名勞力承包75畝地,這些地可種蔬菜、玉米和雜豆.每畝蔬菜需0.5個勞力,預計畝產值2000元;每畝玉米需0.25個勞力,預計畝產值800元;每畝雜豆需0.125個勞力,預計畝產值550元.怎樣安排種植計劃,才能使總產值最大?最大產值是多少元?
答案:
(1)設巡邏車行至B處用x天,從B到最遠處用y天,則2[3(x+y)+2x]=14×5,即
又x>0,y>0,14×5-(5+2)x≤14×3,
所以x=4時,y取最大值5.另三輛車行駛最遠距離:(4+5)×200=1800(千米).
(2)設種蔬菜、玉米、雜豆各x、y、z畝,總產量u元.則
所以45≤x≤55,即種蔬菜55畝,雜豆20畝,最大產值為121000元.
(3)某果品公司急需汽車,但無力購買,公司經理想租一輛.一出租公司的出租條件為:每百千米租費110元;一個體出租車司機的條件為:每月付800元工資,另外每百千米付10元油費.問該果品公司租哪家的汽車合算?
解 設汽車每月所行里程為x百千米,于是,應付給出租公司的費用為y1=110x,應付給個體司機的費用為y2=800+10x.畫出它們的圖象,易得圖象交點坐標為(8,8800).由圖象可知,當x<8時,y1<y2;當x=8時,y1=y2,當x>8時,y1>y2.
綜合上述可知,汽車每月行駛里程少于800千米時,租國營出租汽車公司的汽車合算;每月行駛里程大于800千米時,租個體司機的汽車合算.因此,該果品公司應先估計一下每月用車的里程,然后根據估算的結果確定該租哪家的汽車.
一次函數的圖象和性質 篇6
教學目標:
1、使學生能進一步理解函數的定義,根據實際情況求函數的定義域,并能利用函數解決實際問題中的最值問題。
2、滲透函數的數學思想,培養學生的數學建模能力,以及解決實際問題的能力。
3、能初步建立應用數學的意識,體會到數學的抽象性和廣泛應用性。
教學重點:
1、從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式。
2、通過函數的性質及定義域范圍求函數的最值。
教學難點:
從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式
教學方法:討論式教學法
教學過程:
例1、A校和B校各有舊電腦12臺和6臺,現決定送給C校10臺、D校8臺,已知從A校調一臺電腦到C校、D校的費用分別是40元和80元,從B校調運一臺電腦到C校、D校的運費分別是30元和50元,試求出總運費最低的調運方案,最低運費是多少?
(1)幾分鐘讓學生認真讀題,理解題意
(2)由題意可知,一種調配方案,對應一個費用。不同的調配方案對應不同的費用,在這個變化過程中,調配方案決定了總費用。它們之間存在著一定的關系。究竟是什么樣的關系呢?需要我們建立數學模型,將之形式化、數學化。
解法(一)列表分析:
設從A校調到C校x臺,則調到D校(12―x)臺,B校調到C校是(10―x)臺。B校調到D校是[6-(10-x)]即(x-4)臺,總運費為y。
根據題意:
y =40x+80(12- x)+ 30(10-x)+50(x-4)
y =40x+960-80x+300-30x+50x-200
=-20x+1060(4≤x≤10,且x是正整數)
y =-20x+1060是減函數。
∴當x =10時,y有最小值ymin=860
∴調配方案為A校調到C校10臺,調到D校2臺,B校調到D校2臺。
解法(二)列表分析
設從A校調到D校有x臺,則調到C校(12―x)臺。B校調到C校是[10-(12-x)]即(x-2)臺。B校調到D校是(8―x)臺,總運費為y。
y =40(12 – x)+ 80x+ 30(x –2)+50(8-x)
=480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x
=20x +820(2≤x≤8,且x是正整數)
y =20x +820是增函數
∴x=2時,y有最小值ymin=860
調配方案同解法(一)
解法(三)列表分析:
解略
解法(四)列表分析:
解略
例2、公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品,規定試銷時的銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件。經試銷調查,發現銷售量y(件),與銷售單價x(元/件)可近似看作一次函數y =kx+b的關系
(1)根據圖象,求一次函數y =kx+b的表達式
(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價―成本總價)為s元
試用銷售單價x表示毛利潤s;
解:如圖所示
直線過點(600,400),(700,300)
∴400 =600k+b
300 =700k+b
k =-1,b =1000
∴ y =- x + 1000(500≤x≤800)
s =x(1000 – x)-500(1000 – x)
=1000x – x2 – 500000 + 500x
=- x2 + 1500x – 500000(500≤x≤800)
小結:本節課試圖讓學生體會到函數的本質是對應關系。在實際生活中,影響事物的因素往往是多方面的,而且它們之間存在一定的關系。數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。對于實際問題我們抽象概括出它的本質特征,將其數學化、形式化,形成數學模型。這個過程既體現了數學的高度抽象性,又因其高度的抽象性決定了數學的廣泛應用性。
作業 :略
探究活動
(1) 在邊防沙漠區,巡邏車每天行駛200千米,每輛巡邏車裝載供行駛14天的汽油.現有5輛巡邏車同時由駐地A出發,完成任務再返回A.為讓其余3輛盡可能向更遠距離巡邏(然后一起返回),甲、乙兩車行至途中B后,僅留足自己返回A必須的汽油,將多余的油給另3輛用,問另3輛行駛的最遠距離是多少千米.
(2)30名勞力承包75畝地,這些地可種蔬菜、玉米和雜豆.每畝蔬菜需0.5個勞力,預計畝產值2000元;每畝玉米需0.25個勞力,預計畝產值800元;每畝雜豆需0.125個勞力,預計畝產值550元.怎樣安排種植計劃,才能使總產值最大?最大產值是多少元?
答案:
(1)設巡邏車行至B處用x天,從B到最遠處用y天,則2[3(x+y)+2x]=14×5,即
又x>0,y>0,14×5-(5+2)x≤14×3,
所以x=4時,y取最大值5.另三輛車行駛最遠距離:(4+5)×200=1800(千米).
(2)設種蔬菜、玉米、雜豆各x、y、z畝,總產量u元.則
所以45≤x≤55,即種蔬菜55畝,雜豆20畝,最大產值為121000元.
(3)某果品公司急需汽車,但無力購買,公司經理想租一輛.一出租公司的出租條件為:每百千米租費110元;一個體出租車司機的條件為:每月付800元工資,另外每百千米付10元油費.問該果品公司租哪家的汽車合算?
解 設汽車每月所行里程為x百千米,于是,應付給出租公司的費用為y1=110x,應付給個體司機的費用為y2=800+10x.畫出它們的圖象,易得圖象交點坐標為(8,8800).由圖象可知,當x<8時,y1<y2;當x=8時,y1=y2,當x>8時,y1>y2.
綜合上述可知,汽車每月行駛里程少于800千米時,租國營出租汽車公司的汽車合算;每月行駛里程大于800千米時,租個體司機的汽車合算.因此,該果品公司應先估計一下每月用車的里程,然后根據估算的結果確定該租哪家的汽車.
一次函數的圖象和性質 篇7
一次函數的圖象和性質
一、目的要求
1.使學生能畫出正比例函數與一次函數的圖象。
2.結合圖象,使學生理解正比例函數與一次函數的性質。
3.在學習一次函數的圖象和性質的基礎上,使學生進一步理解正比例函數和一次函數的概念。
二、內容分析
1、對函數的研究,在初中階段,只能是初步的。從方法上,是用初等方法,即傳統的初等數學的方法,而不是用極限、導數等高等數學的基本工具,并且,比起高中對函數的研究,更多地依賴于圖象的直觀,從研究的內容上,通常,包括定義域、值域、函數的變化特征等方面。關于定義域,只是在開始學習函數概念時,有一個一般的簡介,在具體學習幾種數時,就不一一單獨講述了,關于值域,初中暫不涉及,至于函數的變化特征,像上升、下降、極大、極小,以及奇、偶性、周期性,連續性等,初中只就一次函數與反比例函效的升降問題略作介紹,其它,在初中都不做為基本教學要求。
2、關于一次函數圖象是直線的問題,在前面學習13.3節時,利用幾何學過的角平分線的性質,對函數y=x的圖象是一條直線做了一些說明,至于其它種類的一次函數,則只是在描點畫圖時,從直觀上看出,它們的圖象也都是一條直線,教科書沒有對這個結論進行嚴格的論證,對于學生,只要求他們能結合y=x的圖象以及其它一些一次函數圖象的實例,對這個結論有一個直觀的認識就可以了。
三、教學過程
復習提問:
1.什么是一次函數?什么是正比例函數?
2.在同一直角坐標系中描點畫出以下三個函數的圖象:
y=2x y=2x-1 y=2x+1
新課講解:
1.我們畫過函數y=x的圖象,并且知道,函數y=x的圖象上的點的坐標滿足橫坐標與縱坐標相等的條件,由幾何上學過的角平分線的性質,可以判斷,函數y=x,這是一個一次函數(也是正比例函數),它的圖象是一條直線。
再看復習提問的第2題,所畫出的三個一次函數的圖象,從直觀上看,也分別是一條直線。
一般地,一次函數的圖象是一條直線。
前面我們在畫一次函數的圖象時,采用先列表、描點,再連續的方法.現在,我們明確了一次函數的圖象都是一條直線。因此,在畫一次函數的圖象時,只要在坐標平面內描出兩個點,就可以畫出它的圖象了。
先看兩個正比例項數,
y=0.5x
與 y=-0.5x
由這兩個正比例函數的解析式不難看出,當x=0時,
y=0
即函數圖象經過原點.(讓學生想一想,為什么?)
除了點(0,0)之外,對于函數y=0.5x,再選一點(1,0.5),對于函數y=-0.5x。再選一點(1,一0.5),就可以分別畫出這兩個正比例函數的圖象了。
實際畫正比例函數y=kx(k≠0)的圖象,一般按以以下三步:
(1)先選取兩點,通常選點(0,0)與點(1,k);
(2)在坐標平面內描出點(0, o)與點(1,k);
(3)過點(0,0)與點(1,k)做一條直線.
這條直線就是正比例函數y=kx(k≠0)的圖象.
觀察正比例函數 y=0.5x 的圖象.
這里,k=0.5>0.
從圖象上看, y隨x的增大而增大.
再觀察正比例函數 y=-0.5x 的圖象。
這里,k=一0.5<0
從圖象上看, y隨x的增大而減小
實際上,我們還可以從解析式本身的特點出發,考慮正比例函數的性質.
先看
y=0.5x
任取兩對對應值. (x1,y1)與(x2,y2),
如果x1>x2,由k=0.5>0,得
0.5x1>0.5x2
即 yl>y2
這就是說,當x增大時,y也增大。
類似地,可以說明的y=-0.5x 性質。
從解析式本身特點出發分析正比例函數性質,可視學生程度考慮是否向學生介紹。
一般地,正比例函數y=kx(k≠0)有下列性質:
(1)當k>0時,y隨x的增大而增大;
(2)當k<0時,y隨x的增大而減小。
2、講解教科書13.5節例1.與畫正比例函數圖象類似,畫一次函數圖象的關鍵是選取適當的兩點,然后連線即可,為了描點方便,對于一次函數
y=kx+b(k,b是常數,k≠0)
通常選取
(o,b)與(-
兩點,
對于例 l中的一次函效
y=2x+1與y=-2x+1
就分別選取
(o,1)與(一0.5,2),
還有
(0,1)—與(0.5.0).
在例1之后,順便指出,一次函數y=kx+b的圖象,習慣上也稱為直線) y=kx+b
結合例1中的兩個一次函數的圖象,就可以得到與正比例函數類似的關于一次函數的兩條性質。
對于一次函數的性質,也可以從一次函數的解析式分析得出,這與正比例函數差不多。
課堂練習:
教科書13.5節第一個練習第l—2題,在做這兩道練習時,可結合實例進一步說明正比例函數與一次函數的有關性質。
課堂小結:
1.正比例函數y=kx圖象的畫法:過原點與點(1,k)的直線即所求圖象.
2. 一次函數y=kx+b圖象的畫法:在y軸上取點(0,6),在x軸上取點,0),過這兩點的直線即所求圖象.
3.正比例函數y=kx與一次函數y=kx+b的性質(由學生自行歸納).
四、課外作業
1.教科書習題13.5a組第l一3題.
2.選作教科書習題13.5b組第1題.
一次函數的圖象和性質
一、目的要求
1.使學生能畫出正比例函數與一次函數的圖象。
2.結合圖象,使學生理解正比例函數與一次函數的性質。
3.在學習一次函數的圖象和性質的基礎上,使學生進一步理解正比例函數和一次函數的概念。
二、內容分析
1、對函數的研究,在初中階段,只能是初步的。從方法上,是用初等方法,即傳統的初等數學的方法,而不是用極限、導數等高等數學的基本工具,并且,比起高中對函數的研究,更多地依賴于圖象的直觀,從研究的內容上,通常,包括定義域、值域、函數的變化特征等方面。關于定義域,只是在開始學習函數概念時,有一個一般的簡介,在具體學習幾種數時,就不一一單獨講述了,關于值域,初中暫不涉及,至于函數的變化特征,像上升、下降、極大、極小,以及奇、偶性、周期性,連續性等,初中只就一次函數與反比例函效的升降問題略作介紹,其它,在初中都不做為基本教學要求。
2、關于一次函數圖象是直線的問題,在前面學習13.3節時,利用幾何學過的角平分線的性質,對函數y=x的圖象是一條直線做了一些說明,至于其它種類的一次函數,則只是在描點畫圖時,從直觀上看出,它們的圖象也都是一條直線,教科書沒有對這個結論進行嚴格的論證,對于學生,只要求他們能結合y=x的圖象以及其它一些一次函數圖象的實例,對這個結論有一個直觀的認識就可以了。
三、教學過程
復習提問:
1.什么是一次函數?什么是正比例函數?
2.在同一直角坐標系中描點畫出以下三個函數的圖象:
y=2x y=2x-1 y=2x+1
新課講解:
1.我們畫過函數y=x的圖象,并且知道,函數y=x的圖象上的點的坐標滿足橫坐標與縱坐標相等的條件,由幾何上學過的角平分線的性質,可以判斷,函數y=x,這是一個一次函數(也是正比例函數),它的圖象是一條直線。
再看復習提問的第2題,所畫出的三個一次函數的圖象,從直觀上看,也分別是一條直線。
一般地,一次函數的圖象是一條直線。
前面我們在畫一次函數的圖象時,采用先列表、描點,再連續的方法.現在,我們明確了一次函數的圖象都是一條直線。因此,在畫一次函數的圖象時,只要在坐標平面內描出兩個點,就可以畫出它的圖象了。
先看兩個正比例項數,
y=0.5x
與 y=-0.5x
由這兩個正比例函數的解析式不難看出,當x=0時,
y=0
即函數圖象經過原點.(讓學生想一想,為什么?)
除了點(0,0)之外,對于函數y=0.5x,再選一點(1,0.5),對于函數y=-0.5x。再選一點(1,一0.5),就可以分別畫出這兩個正比例函數的圖象了。
實際畫正比例函數y=kx(k≠0)的圖象,一般按以以下三步:
(1)先選取兩點,通常選點(0,0)與點(1,k);
(2)在坐標平面內描出點(0, o)與點(1,k);
(3)過點(0,0)與點(1,k)做一條直線.
這條直線就是正比例函數y=kx(k≠0)的圖象.
觀察正比例函數 y=0.5x 的圖象.
這里,k=0.5>0.
從圖象上看, y隨x的增大而增大.
再觀察正比例函數 y=-0.5x 的圖象。
這里,k=一0.5<0
從圖象上看, y隨x的增大而減小
實際上,我們還可以從解析式本身的特點出發,考慮正比例函數的性質.
先看
y=0.5x
任取兩對對應值. (x1,y1)與(x2,y2),
如果x1>x2,由k=0.5>0,得
0.5x1>0.5x2
即 yl>y2
這就是說,當x增大時,y也增大。
類似地,可以說明的y=-0.5x 性質。
從解析式本身特點出發分析正比例函數性質,可視學生程度考慮是否向學生介紹。
一般地,正比例函數y=kx(k≠0)有下列性質:
(1)當k>0時,y隨x的增大而增大;
(2)當k<0時,y隨x的增大而減小。
2、講解教科書13.5節例1.與畫正比例函數圖象類似,畫一次函數圖象的關鍵是選取適當的兩點,然后連線即可,為了描點方便,對于一次函數
y=kx+b(k,b是常數,k≠0)
通常選取
(o,b)與(-
兩點,
對于例 l中的一次函效
y=2x+1與y=-2x+1
就分別選取
(o,1)與(一0.5,2),
還有
(0,1)—與(0.5.0).
在例1之后,順便指出,一次函數y=kx+b的圖象,習慣上也稱為直線) y=kx+b
結合例1中的兩個一次函數的圖象,就可以得到與正比例函數類似的關于一次函數的兩條性質。
對于一次函數的性質,也可以從一次函數的解析式分析得出,這與正比例函數差不多。
課堂練習:
教科書13.5節第一個練習第l—2題,在做這兩道練習時,可結合實例進一步說明正比例函數與一次函數的有關性質。
課堂小結:
1.正比例函數y=kx圖象的畫法:過原點與點(1,k)的直線即所求圖象.
2. 一次函數y=kx+b圖象的畫法:在y軸上取點(0,6),在x軸上取點,0),過這兩點的直線即所求圖象.
3.正比例函數y=kx與一次函數y=kx+b的性質(由學生自行歸納).
四、課外作業
1.教科書習題13.5a組第l一3題.
2.選作教科書習題13.5b組第1題.
一次函數的圖象和性質 篇8
一次函數的圖象和性質
一、目的要求
1.使學生能畫出正比例函數與一次函數的圖象。
2.結合圖象,使學生理解正比例函數與一次函數的性質。
3.在學習一次函數的圖象和性質的基礎上,使學生進一步理解正比例函數和一次函數的概念。
二、內容分析
1、對函數的研究,在初中階段,只能是初步的。從方法上,是用初等方法,即傳統的初等數學的方法,而不是用極限、導數等高等數學的基本工具,并且,比起高中對函數的研究,更多地依賴于圖象的直觀,從研究的內容上,通常,包括定義域、值域、函數的變化特征等方面。關于定義域,只是在開始學習函數概念時,有一個一般的簡介,在具體學習幾種數時,就不一一單獨講述了,關于值域,初中暫不涉及,至于函數的變化特征,像上升、下降、極大、極小,以及奇、偶性、周期性,連續性等,初中只就一次函數與反比例函效的升降問題略作介紹,其它,在初中都不做為基本教學要求。
2、關于一次函數圖象是直線的問題,在前面學習13.3節時,利用幾何學過的角平分線的性質,對函數y=x的圖象是一條直線做了一些說明,至于其它種類的一次函數,則只是在描點畫圖時,從直觀上看出,它們的圖象也都是一條直線,教科書沒有對這個結論進行嚴格的論證,對于學生,只要求他們能結合y=x的圖象以及其它一些一次函數圖象的實例,對這個結論有一個直觀的認識就可以了。
三、教學過程
復習提問:
1.什么是一次函數?什么是正比例函數?
2.在同一直角坐標系中描點畫出以下三個函數的圖象:
y=2x y=2x-1 y=2x+1
新課講解:
1.我們畫過函數y=x的圖象,并且知道,函數y=x的圖象上的點的坐標滿足橫坐標與縱坐標相等的條件,由幾何上學過的角平分線的性質,可以判斷,函數y=x,這是一個一次函數(也是正比例函數),它的圖象是一條直線。
再看復習提問的第2題,所畫出的三個一次函數的圖象,從直觀上看,也分別是一條直線。
一般地,一次函數的圖象是一條直線。
前面我們在畫一次函數的圖象時,采用先列表、描點,再連續的方法.現在,我們明確了一次函數的圖象都是一條直線。因此,在畫一次函數的圖象時,只要在坐標平面內描出兩個點,就可以畫出它的圖象了。
先看兩個正比例項數,
y=0.5x
與 y=-0.5x
由這兩個正比例函數的解析式不難看出,當x=0時,
y=0
即函數圖象經過原點.(讓學生想一想,為什么?)
除了點(0,0)之外,對于函數y=0.5x,再選一點(1,0.5),對于函數y=-0.5x。再選一點(1,一0.5),就可以分別畫出這兩個正比例函數的圖象了。
實際畫正比例函數y=kx(k≠0)的圖象,一般按以以下三步:
(1)先選取兩點,通常選點(0,0)與點(1,k);
(2)在坐標平面內描出點(0, o)與點(1,k);
(3)過點(0,0)與點(1,k)做一條直線.
這條直線就是正比例函數y=kx(k≠0)的圖象.
觀察正比例函數 y=0.5x 的圖象.
這里,k=0.5>0.
從圖象上看, y隨x的增大而增大.
再觀察正比例函數 y=-0.5x 的圖象。
這里,k=一0.5<0
從圖象上看, y隨x的增大而減小
實際上,我們還可以從解析式本身的特點出發,考慮正比例函數的性質.
先看
y=0.5x
任取兩對對應值. (x1,y1)與(x2,y2),
如果x1>x2,由k=0.5>0,得
0.5x1>0.5x2
即 yl>y2
這就是說,當x增大時,y也增大。
類似地,可以說明的y=-0.5x 性質。
從解析式本身特點出發分析正比例函數性質,可視學生程度考慮是否向學生介紹。
一般地,正比例函數y=kx(k≠0)有下列性質:
(1)當k>0時,y隨x的增大而增大;
(2)當k<0時,y隨x的增大而減小。
2、講解教科書13.5節例1.與畫正比例函數圖象類似,畫一次函數圖象的關鍵是選取適當的兩點,然后連線即可,為了描點方便,對于一次函數
y=kx+b(k,b是常數,k≠0)
通常選取
(o,b)與(- 兩點,
對于例 l中的一次函效
y=2x+1與y=-2x+1
就分別選取
(o,1)與(一0.5,2),
還有
(0,1)—與(0.5.0).
在例1之后,順便指出,一次函數y=kx+b的圖象,習慣上也稱為直線) y=kx+b
結合例1中的兩個一次函數的圖象,就可以得到與正比例函數類似的關于一次函數的兩條性質。
對于一次函數的性質,也可以從一次函數的解析式分析得出,這與正比例函數差不多。
課堂練習:
教科書13.5節第一個練習第l—2題,在做這兩道練習時,可結合實例進一步說明正比例函數與一次函數的有關性質。
課堂小結:
1.正比例函數y=kx圖象的畫法:過原點與點(1,k)的直線即所求圖象.
2. 一次函數y=kx+b圖象的畫法:在y軸上取點(0,6),在x軸上取點,0),過這兩點的直線即所求圖象.
3.正比例函數y=kx與一次函數y=kx+b的性質(由學生自行歸納).
四、課外作業
1.教科書習題13.5a組第l一3題.