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一次函數的圖象和性質

一次函數的圖象和性質

教學目標 

1、使學生能進一步理解函數的定義,根據實際情況求函數的定義域,并能利用函數解決實際問題中的最值問題。

2、滲透函數的數學思想,培養學生的數學建模能力,以及解決實際問題的能力。

3、能初步建立應用數學的意識,體會到數學的抽象性和廣泛應用性。

教學重點

1、從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式。

2、通過函數的性質及定義域范圍求函數的最值。

教學難點 

從實際問題中抽象概括出運動變化的規律,建立函數關系式

教學方法:討論式教學法

教學過程 

例1、A校和B校各有舊電腦12臺和6臺,現決定送給C校10臺、D校8臺,已知從A校調一臺電腦到C校、D校的費用分別是40元和80元,從B校調運一臺電腦到C校、D校的運費分別是30元和50元,試求出總運費最低的調運方案,最低運費是多少?

(1)幾分鐘讓學生認真讀題,理解題意

(2)由題意可知,一種調配方案,對應一個費用。不同的調配方案對應不同的費用,在這個變化過程中,調配方案決定了總費用。它們之間存在著一定的關系。究竟是什么樣的關系呢?需要我們建立數學模型,將之形式化、數學化。

解法(一)列表分析:

設從A校調到C校x臺,則調到D校(12―x)臺,B校調到C校是(10―x)臺。B校調到D校是[6-(10-x)]即(x-4)臺,總運費為y。

根據題意:

y =40x+80(12- x)+ 30(10-x)+50(x-4)

y =40x+960-80x+300-30x+50x-200

=-20x+1060(4≤x≤10,且x是正整數)

y =-20x+1060是減函數。

∴當x =10時,y有最小值ymin=860

∴調配方案為A校調到C校10臺,調到D校2臺,B校調到D校2臺。

解法(二)列表分析

設從A校調到D校有x臺,則調到C校(12―x)臺。B校調到C校是[10-(12-x)]即(x-2)臺。B校調到D校是(8―x)臺,總運費為y。

y =40(12 – x)+ 80x+ 30(x –2)+50(8-x)

=480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x

=20x +820(2≤x≤8,且x是正整數)

y =20x +820是增函數

∴x=2時,y有最小值ymin=860

調配方案同解法(一)

解法(三)列表分析:

解略

解法(四)列表分析:

解略

例2、公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品,規定試銷時的銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件。經試銷調查,發現銷售量y(件),與銷售單價x(元/件)可近似看作一次函數y =kx+b的關系

(1)根據圖象,求一次函數y =kx+b的表達式

(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價―成本總價)為s元

試用銷售單價x表示毛利潤s;

解:如圖所示

直線過點(600,400),(700,300)

∴400 =600k+b

300 =700k+b

k =-1,b =1000

∴ y =- x + 1000(500≤x≤800)

s =x(1000 – x)-500(1000 – x)

=1000x – x2 – 500000 + 500x

=- x2 + 1500x – 500000(500≤x≤800)

小結:本節課試圖讓學生體會到函數的本質是對應關系。在實際生活中,影響事物的因素往往是多方面的,而且它們之間存在一定的關系。數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。對于實際問題我們抽象概括出它的本質特征,將其數學化、形式化,形成數學模型。這個過程既體現了數學的高度抽象性,又因其高度的抽象性決定了數學的廣泛應用性。

作業 :略

探究活動

(1) 在邊防沙漠區,巡邏車每天行駛200千米,每輛巡邏車裝載供行駛14天的汽油.現有5輛巡邏車同時由駐地A出發,完成任務再返回A.為讓其余3輛盡可能向更遠距離巡邏(然后一起返回),甲、乙兩車行至途中B后,僅留足自己返回A必須的汽油,將多余的油給另3輛用,問另3輛行駛的最遠距離是多少千米.

(2)30名勞力承包75畝地,這些地可種蔬菜、玉米和雜豆.每畝蔬菜需0.5個勞力,預計畝產值2000元;每畝玉米需0.25個勞力,預計畝產值800元;每畝雜豆需0.125個勞力,預計畝產值550元.怎樣安排種植計劃,才能使總產值最大?最大產值是多少元?

答案:

(1)設巡邏車行至B處用x天,從B到最遠處用y天,則2[3(x+y)+2x]=14×5,即

又x>0,y>0,14×5-(5+2)x≤14×3,

所以x=4時,y取最大值5.另三輛車行駛最遠距離:(4+5)×200=1800(千米).

(2)設種蔬菜、玉米、雜豆各x、y、z畝,總產量u元.則

所以45≤x≤55,即種蔬菜55畝,雜豆20畝,最大產值為121000元.

(3)某果品公司急需汽車,但無力購買,公司經理想租一輛.一出租公司的出租條件為:每百千米租費110元;一個體出租車司機的條件為:每月付800元工資,另外每百千米付10元油費.問該果品公司租哪家的汽車合算?

設汽車每月所行里程為x百千米,于是,應付給出租公司的費用為y1=110x,應付給個體司機的費用為y2=800+10x.畫出它們的圖象,易得圖象交點坐標為(8,8800).由圖象可知,當x<8時,y1<y2;當x=8時,y1=y2,當x>8時,y1>y2.

綜合上述可知,汽車每月行駛里程少于800千米時,租國營出租汽車公司的汽車合算;每月行駛里程大于800千米時,租個體司機的汽車合算.因此,該果品公司應先估計一下每月用車的里程,然后根據估算的結果確定該租哪家的汽車.

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