15.3 乘法公式(精選2篇)
15.3 乘法公式 篇1
15.3 乘法公式課時(shí)安排 3課時(shí) 從容說(shuō)課 學(xué)習(xí)乘法公式,是在學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,是由一般到特殊的體現(xiàn),所以教學(xué)時(shí),可以安排學(xué)生計(jì)算(a+b)(a-b)、(x-y)(x+y)、(a+b)2、(a-b)2、(x+y)2等,在學(xué)生計(jì)算的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出公式,并進(jìn)一步揭示公式的結(jié)構(gòu)特征,使學(xué)生理解并掌握這些公式的特點(diǎn),為正確運(yùn)用這些公式進(jìn)行計(jì)算打好基礎(chǔ).為了揭示公式特征,教學(xué)中要緊緊地采取對(duì)比的方式.緊扣例題與公式進(jìn)行比較,讓學(xué)生自己進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)公式的特征.盡管問(wèn)題千變?nèi)f化,以千姿百態(tài)出現(xiàn),通過(guò)對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)特征不變,仍符合公式特征,從而根據(jù)公式解決問(wèn)題. 運(yùn)用乘法公式計(jì)算,有時(shí)需要添括號(hào),在已學(xué)過(guò)去括號(hào)法則的基礎(chǔ)上,本節(jié)還安排了添括號(hào)法則.它是乘法公式的進(jìn)一步深化應(yīng)用的工具和基礎(chǔ).學(xué)習(xí)它可以和去括號(hào)法則對(duì)比進(jìn)行. 在對(duì)比中學(xué),在對(duì)比中用,在對(duì)比中再進(jìn)行比較,從基本類型的題目到變化多端的題目,從單一題型到復(fù)雜題型,從式中的系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)、項(xiàng)數(shù)、數(shù)字等逐一對(duì)比,抓住公式、法則的實(shí)質(zhì),達(dá)到嫻熟駕馭,左右逢源,才能做到運(yùn)用自如的效果.§15.3.1 平方差公式第九課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程. 2.會(huì)推導(dǎo)平方差公式,并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算. (二)能力訓(xùn)練要求 1.在探索平方差公式的過(guò)程中,培養(yǎng)符號(hào)感和推理能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力. (三)情感與價(jià)值觀要求 在計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并能用符號(hào)表示,從而體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷美. 教學(xué)重點(diǎn) 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn) 理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,靈活應(yīng)用平方差公式. 教學(xué)方法 探究與講練相結(jié)合. 通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進(jìn)一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征,在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生體會(huì)公式實(shí)質(zhì),學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用. 教具準(zhǔn)備 投影片. 教學(xué)過(guò)程 ⅰ.提出問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境 [師]你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎? (1)×1999 (2)998×1002 [生甲]直接乘比較復(fù)雜,我考慮把它化成整百,整千的運(yùn)算,從而使運(yùn)算簡(jiǎn)單,可以寫(xiě)成+1,1999可以寫(xiě)成-1,那么×1999可以看成是多項(xiàng)式的積,根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可以很快算出. [生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了. [師]很好,請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手運(yùn)算一下. [生](1)×1999=(+1)(-1) =XX2-1+1+1×(-1) =XX2-1 =4000000-1 =3999999. (2)998×1002=(1000-2)(1000+2) =10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2 =10002-22 =1000000-4 =1999996. [師]×1999=XX2-12 998×1002=10002-22 它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差,那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢?我們繼續(xù)進(jìn)行探索. ⅱ.導(dǎo)入新課 [師]出示投影片 計(jì)算下列多項(xiàng)式的積. (1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2) (3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y) 觀察上述算式,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?運(yùn)算出結(jié)果后,你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn). (學(xué)生討論,教師引導(dǎo)) [生甲]上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng). [生乙]我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如算式(1)是x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(2)是m與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(3)是2x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(4)是x與5y這兩個(gè)數(shù)的和與差的積. [師]這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要,請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一下,相信你還會(huì)有更大的發(fā)現(xiàn). [生]解:(1)(x+1)(x-1) =x2+x-x-1=x2-12 (2)(m+2)(m-2) =m2+2m-2m-2×2=m2-22 (3)(2x+1)(2x-1) =(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12 (4)(x+5y)(x-5y) =x2+5y•x-x•5y-(5y)2 =x2-(5y)2[生]從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn): 也就是說(shuō),兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差,這和我們前面的簡(jiǎn)便運(yùn)算得出的是同一結(jié)果. [師]能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)? [生]能.例如:51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12. 即(50+1)(50-1)=502-12. (-a+b)(-a-b)=(-a)•(-a)+(-a)•(-b)+b•(-a)+b•(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 這同樣可以驗(yàn)證:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. [師]為什么會(huì)是這樣的呢? [生]因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開(kāi)后,中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng),且系數(shù)互為相反數(shù),所以和為零,只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了. [師]很好.請(qǐng)用一般形式表示上述規(guī)律,并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明. [生]這個(gè)規(guī)律用符號(hào)表示為: (a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意數(shù),也可以表示任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式. 利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可以做如下證明: (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. [師]同學(xué)們真不簡(jiǎn)單.老師為你們感到驕傲.能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a-b)=a2-b2起一個(gè)名字呢? [生]最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差,叫它“平方差公式”怎樣樣? [師]有道理.這就是我們探究得到的“平方差公式”,請(qǐng)同學(xué)們分別用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言敘述這個(gè)公式. (出示投影) 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 即:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式,用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)便,但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用. 在應(yīng)用中體會(huì)公式特征,感受平方差公式給運(yùn)算帶來(lái)的方便,從而靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算 (出示投影片) 例1:運(yùn)用平方差公式計(jì)算: (1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y) 例2:計(jì)算: (1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) [師生共析]運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意公式的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座. 在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b. 即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22 (a+b)(a-b)=a2-b2 同樣的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化: (b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b). 如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征,則應(yīng)考慮多項(xiàng)式的乘法法則. (作如上分析后,學(xué)生可以自己完成兩個(gè)例題.也可以通過(guò)學(xué)生的板演進(jìn)行評(píng)析達(dá)到鞏固和深化的目的) [例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4. (2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2. (3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2. [例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2) =1002-22=10000-4=9996. (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+5y-y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. [師]我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么? [生]我覺(jué)得應(yīng)注意以下幾點(diǎn): (1)公式中的字母a、b可以表示數(shù),也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式. (2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式. (3)有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式,但通過(guò)加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式. [生]運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡(jiǎn)才行. [師]同學(xué)們總結(jié)得很好.下面請(qǐng)同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí).優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言. ⅲ.隨堂練習(xí) 出示投影片: 計(jì)算: (1)(a+b)(-b+a) (2)(-a-b)(a-b) (3)(3a+2b)(3a-2b) (4)(a5-b2)(a5+b2) (5)(a+2b+2c)(a+2b-2c) (6)(a-b)(a+b)(a2+b2) 解:(1)(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2. (3)(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2. (4)(a5-b2)(a5+b2)=(a5)2-(b2)2=a10-b4. (5)(a+2b+2c)(a+2b-2c)=(a+2b)2-(2c)2 =(a+2b)(a+2b)-4c2 =a2+a•2b+2b•a+(2b)2-4c2 =a2+4ab+4b2-4c2 (6)(a-b)(a+b)(a2+b2) =(a2-b2)(a2+b2) =(a2)2-(b2)2=a4-b4. 優(yōu)勝組總結(jié)發(fā)言: 這些運(yùn)算都可以通過(guò)變形后利用平方差公式.其中變形的形式有:位置變形;符號(hào)變形;系數(shù)變形;指數(shù)變形;項(xiàng)數(shù)變形;連用公式.關(guān)鍵還是在于理解公式特征,學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座,有整體思想. ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)我們掌握了如下知識(shí). (1)平方差公式 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這個(gè)公式叫做乘法的平方差公式.即(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)公式的結(jié)構(gòu)特征 ①公式的字母a、b可以表示數(shù),也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式; ②要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式; ③有些式子表面上不能應(yīng)用公式,但通過(guò)適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.如:(x+y-z)(x-y-z)=[(x-z)+y][(x-z)-y]=(x-z)2-y2. ⅴ.課后作業(yè) 1.課本p179練習(xí)1、2. 2.課本p182~p183習(xí)題15.3─1題. ⅵ.活動(dòng)與探究 1.計(jì)算:1234567892-123456788×123456790 2.解方程:5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x- )(x+ )=2. 過(guò)程: 1.看似數(shù)字很大,但觀察到:123456788=123456789-1,123456790=123456789+1,所以可以用平方差公式去化簡(jiǎn)計(jì)算. 2.方程中含有多項(xiàng)式的乘法,而且符合平方差公式特征,可以用平方差公式去化簡(jiǎn). 結(jié)果: 1.1234567892-123456788×123456790 =1234567892-(123456789-1)(123456789+1) =1234567892-(1234567892-1) =1234567892-1234567892+1 =1. 2.原方程可化為: 5x+6(3x+2)(3x-2)-54[x2-( )2]=2 ∴5x+6(9x2-4)-54x2+6=2 即5x+54x2-24-54x2+6=2 移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得5x=20 ∴x=4. 板書(shū)設(shè)計(jì) 備課資料 [例1]利用平方差公式計(jì)算: (1)(a+3)(a-3)(a2+9); (2)(2x-1)(4x2+1)(2x+1). 分析:(1)(a+3)(a-3)適合平方差公式的形式,應(yīng)先計(jì)算(a+3)(a-3);(2)中(2x-1)(2x+1)適合平方差公式的形式,應(yīng)先計(jì)算(2x-1)×(2x+1) 解答:(1)原式=(a2-9)(a2+9) =(a2)2-92=a4-81; (2)原式=[(2x-1)(2x+1)](4x2+1) =[(2x)2-12](4x2+1) =(4x2-1)(4x2+1) =(4x2)2-1=16x4-1. 方法總結(jié):觀察、發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)多項(xiàng)式符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,符合公式結(jié)構(gòu)特征的先算.這是這類試題的計(jì)算原則. [例2]計(jì)算: (1)1002-992+982-972+962-952+…+22-12; (2)(1- )(1- )(1- )…(1- )(1- ). 分析:直接計(jì)算顯然太復(fù)雜,不難發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚(gè)項(xiàng)正好是平方相減的形式.于是便考慮能否逆用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)去計(jì)算.事實(shí)上,這是可行的. 解答:(1)(1002-992)+(982-972)+(962-952)+…+(22-12) =(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1) =100+99+98+97+…+2+1 =(100+1)+(99+2)+…+(51+50) =50×101=5050; (2)(1- )(1- )(1- )…(1- )(1- ). =(1+ )(1- )(1+ )(1- )(1+ )(1- )…(1+ )(1- )(1+ )(1- ) = × × × × × ×…× × × × = × = . 方法總結(jié):逆用平方差公式產(chǎn)生了很好的效果。相信你也會(huì)運(yùn)用.
15.3 乘法公式 篇2
課 題9.5乘法公式的再認(rèn)識(shí)—因式分解
課時(shí)分配本課(章節(jié))需 3 課時(shí)本 節(jié) 課 為 第 1 課時(shí)為 本 學(xué)期總第 課時(shí)一、運(yùn)用平方差公式分解因式
教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生了解運(yùn)用公式來(lái)分解因式的意義。2、使學(xué)生理解平方差公式的意義,弄清平方差公式的形式和特點(diǎn);使學(xué)生知道把乘法公式反過(guò)來(lái)就可以得到相應(yīng)的因式分解。3、掌握運(yùn)用平方差公式分解因式的方法,能正確運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式分解因式(直接用公式不超過(guò)兩次)
重 點(diǎn)運(yùn)用平方差公式分解因式
難 點(diǎn)靈活運(yùn)用平方差公式分解因式
教學(xué)方法
對(duì)比發(fā)現(xiàn)法
課型
新授課
教具投影儀
教 師 活 動(dòng)
學(xué) 生 活 動(dòng)情景設(shè)置:同學(xué)們,你能很快知道992-1是100的倍數(shù)嗎?你是怎么想出來(lái)的?(學(xué)生或許還有其他不同的解決方法,教師要給予充分的肯定)新課講解:從上面992-1=(99+1)(99-1),我們?nèi)菀卓闯?這種方法利用了我們剛學(xué)過(guò)的哪一個(gè)乘法公式?首先我們來(lái)做下面兩題:(投影)1.計(jì)算下列各式:(1) (a+2)(a-2)= ;(2) (a+b)( a-b)= ;(3) (3 a+2b)(3 a-2b)= .2.下面請(qǐng)你根據(jù)上面的算式填空:(1) a2-4= ;(2) a2-b2= ;(3) 9a2-4b2= ;請(qǐng)同學(xué)們對(duì)比以上兩題,你發(fā)現(xiàn)什么呢?事實(shí)上,像上面第2題那樣,把一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解。(投影)比如:a2–16=a2–42=(a+4)(a–4)例題1:把下列各式分解因式;(投影)(1) 36–25x2 ; (2) 16a2–9b2 ;(3) 9(a+b)2–4(a–b)2 .(讓學(xué)生弄清平方差公式的形式和特點(diǎn)并會(huì)運(yùn)用)例題2:如圖,求圓環(huán)形綠化區(qū)的面積練習(xí):第87頁(yè)練一練第1、2、3題小結(jié):這節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí),掌握什么方法?教學(xué)素材:a組題:1.填空:81x2- =(9x+y)(9x-y); = 利用因式分解計(jì)算: = 。2、下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是( ) (a) (b) (c) (d) 3. 把下列各式分解因式(1) 1-16 a2 (2) 9a2 x2-b2y2(3).49(a-b)2-16(a+b)2b組題:1分解因式81 a 4-b4= 2若a+b=1, a2+b2=1 , 則ab= ;3若26+28+2n是一個(gè)完全平方數(shù),則n= . 由學(xué)生自己先做(或互相討論),然后回答,若有答不全的,教師(或其他學(xué)生)補(bǔ)充.學(xué)生回答1:992-1=99×99-1=9801-1=9800學(xué)生回答2:992-1就是(99+1)(99-1)即100×98學(xué)生回答:平方差公式學(xué)生回答:(1): a2-4(2): a2-b2(3): 9 a2-4b2學(xué)生輕松口答(a+2)(a-2)(a+b)( a-b)(3 a+2b)(3 a-2b)學(xué)生回答:把乘法公式(a+b)( a-b)=a2-b2反過(guò)來(lái)就得到a2-b2=(a+b)(a-b)學(xué)生上臺(tái)板演:36–25x2=62–(5x)2=(6+5x)(6–5x)16a2–9b2=(4a)2–(3b)2=(4a+3b)(4a–3b)9(a+b)2–4(a–b)2=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2=[3(a+b)+2(a–b)][3(a+b)–2(a–b)]=(5a+b)(a+5b)解:352π–152π=π(352–152)=(35+15)(35–15)π=50×20π=1000π (m2)這個(gè)綠化區(qū)的面積是1000πm2學(xué)生歸納總結(jié)
作業(yè)第91頁(yè)第1(1)(2)②③(3)①③④題
板 書(shū) 設(shè) 計(jì)復(fù)習(xí) 例1 板演…… …… ………… …… ………… 例2 ………… …… ………… …… ……
教 學(xué) 后 記