15．3 乘法公式（精選2篇）
15．3 乘法公式 篇1
15.3 乘法公式課時(shí)安排 3課時(shí) 從容說(shuō)課 學(xué)習(xí)乘法公式，是在學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是由一般到特殊的體現(xiàn)，所以教學(xué)時(shí)，可以安排學(xué)生計(jì)算（a+b）（a-b）、（x-y）（x+y）、（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2等，在學(xué)生計(jì)算的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出公式，并進(jìn)一步揭示公式的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生理解并掌握這些公式的特點(diǎn)，為正確運(yùn)用這些公式進(jìn)行計(jì)算打好基礎(chǔ).為了揭示公式特征，教學(xué)中要緊緊地采取對(duì)比的方式.緊扣例題與公式進(jìn)行比較，讓學(xué)生自己進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)公式的特征.盡管問(wèn)題千變?nèi)f化，以千姿百態(tài)出現(xiàn)，通過(guò)對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)特征不變，仍符合公式特征，從而根據(jù)公式解決問(wèn)題. 運(yùn)用乘法公式計(jì)算，有時(shí)需要添括號(hào)，在已學(xué)過(guò)去括號(hào)法則的基礎(chǔ)上，本節(jié)還安排了添括號(hào)法則.它是乘法公式的進(jìn)一步深化應(yīng)用的工具和基礎(chǔ).學(xué)習(xí)它可以和去括號(hào)法則對(duì)比進(jìn)行. 在對(duì)比中學(xué)，在對(duì)比中用，在對(duì)比中再進(jìn)行比較，從基本類型的題目到變化多端的題目，從單一題型到復(fù)雜題型，從式中的系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)、項(xiàng)數(shù)、數(shù)字等逐一對(duì)比，抓住公式、法則的實(shí)質(zhì)，達(dá)到嫻熟駕馭，左右逢源，才能做到運(yùn)用自如的效果.§15.3.1 平方差公式第九課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程. 2.會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算. （二）能力訓(xùn)練要求 1.在探索平方差公式的過(guò)程中，培養(yǎng)符號(hào)感和推理能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力. （三）情感與價(jià)值觀要求 在計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表示，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷美. 教學(xué)重點(diǎn) 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn) 理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式. 教學(xué)方法 探究與講練相結(jié)合. 通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生體會(huì)公式實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用. 教具準(zhǔn)備 投影片. 教學(xué)過(guò)程 ⅰ.提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境 [師]你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎？ （1）×1999 （2）998×1002 [生甲]直接乘比較復(fù)雜，我考慮把它化成整百，整千的運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡(jiǎn)單，可以寫(xiě)成+1，1999可以寫(xiě)成-1，那么×1999可以看成是多項(xiàng)式的積，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可以很快算出. [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了. [師]很好，請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手運(yùn)算一下. [生]（1）×1999=（+1）（-1） =XX2-1+1+1×（-1） =XX2-1 =4000000-1 =3999999. （2）998×1002=（1000-2）（1000+2） =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2 =10002-22 =1000000-4 =1999996. [師]×1999=XX2-12 998×1002=10002-22 它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差，那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢？我們繼續(xù)進(jìn)行探索. ⅱ.導(dǎo)入新課 [師]出示投影片 計(jì)算下列多項(xiàng)式的積. （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 觀察上述算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn). （學(xué)生討論，教師引導(dǎo)） [生甲]上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng). [生乙]我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如算式（1）是x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（2）是m與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（3）是2x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（4）是x與5y這兩個(gè)數(shù)的和與差的積. [師]這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一下，相信你還會(huì)有更大的發(fā)現(xiàn). [生]解：（1）（x+1）（x-1） =x2+x-x-1=x2-12 （2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2×2=m2-22 （3）（2x+1）（2x-1） =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12 （4）（x+5y）（x-5y） =x2+5y•x-x•5y-（5y）2 =x2-（5y）2[生]從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn)： 也就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，這和我們前面的簡(jiǎn)便運(yùn)算得出的是同一結(jié)果. [師]能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？ [生]能.例如：51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12. 即（50+1）（50-1）=502-12. （-a+b）（-a-b）=（-a）•（-a）+（-a）•（-b）+b•（-a）+b•（-b）=（-a）2-b2=a2-b2 這同樣可以驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. [師]為什么會(huì)是這樣的呢？ [生]因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開(kāi)后，中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了. [師]很好.請(qǐng)用一般形式表示上述規(guī)律，并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明. [生]這個(gè)規(guī)律用符號(hào)表示為： （a+b）（a-b）=a2-b2.其中a、b表示任意數(shù)，也可以表示任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式. 利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可以做如下證明： （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2. [師]同學(xué)們真不簡(jiǎn)單.老師為你們感到驕傲.能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（a+b）（a-b）=a2-b2起一個(gè)名字呢？ [生]最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？ [師]有道理.這就是我們探究得到的“平方差公式”，請(qǐng)同學(xué)們分別用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言敘述這個(gè)公式. （出示投影） 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 即：（a+b）（a-b）=a2-b2 平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式，用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)便，但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用. 在應(yīng)用中體會(huì)公式特征，感受平方差公式給運(yùn)算帶來(lái)的方便，從而靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算 （出示投影片） 例1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y） 例2：計(jì)算： （1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） [師生共析]運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座. 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b. 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22 （a+b）（a-b）=a2-b2 同樣的方法可以完成（2）、（3）.如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化工作，使它符合平方差公式的特征.比如（2）應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）. 如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征，則應(yīng)考慮多項(xiàng)式的乘法法則. （作如上分析后，學(xué)生可以自己完成兩個(gè)例題.也可以通過(guò)學(xué)生的板演進(jìn)行評(píng)析達(dá)到鞏固和深化的目的） [例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4. （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2. （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2. [例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2） =1002-22=10000-4=9996. （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） =y2-22-（y2+5y-y-5） =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. [師]我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么？ [生]我覺(jué)得應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式. （2）要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式. （3）有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過(guò)加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式. [生]運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡(jiǎn)才行. [師]同學(xué)們總結(jié)得很好.下面請(qǐng)同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí).優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言. ⅲ.隨堂練習(xí) 出示投影片： 計(jì)算： （1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b） （4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c） （6）（a-b）（a+b）（a2+b2） 解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2. （2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2. （3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2. （4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4. （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2 =（a+2b）（a+2b）-4c2 =a2+a•2b+2b•a+（2b）2-4c2 =a2+4ab+4b2-4c2 （6）（a-b）（a+b）（a2+b2） =（a2-b2）（a2+b2） =（a2）2-（b2）2=a4-b4. 優(yōu)勝組總結(jié)發(fā)言： 這些運(yùn)算都可以通過(guò)變形后利用平方差公式.其中變形的形式有：位置變形；符號(hào)變形；系數(shù)變形；指數(shù)變形；項(xiàng)數(shù)變形；連用公式.關(guān)鍵還是在于理解公式特征，學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座，有整體思想. ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)我們掌握了如下知識(shí). （1）平方差公式 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這個(gè)公式叫做乘法的平方差公式.即（a+b）（a-b）=a2-b2. （2）公式的結(jié)構(gòu)特征 ①公式的字母a、b可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式； ②要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式； ③有些式子表面上不能應(yīng)用公式，但通過(guò)適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2. ⅴ.課后作業(yè) 1.課本p179練習(xí)1、2. 2.課本p182～p183習(xí)題15.3─1題. ⅵ.活動(dòng)與探究 1.計(jì)算：1234567892-123456788×123456790 2.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）（x+ ）=2. 過(guò)程： 1.看似數(shù)字很大，但觀察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化簡(jiǎn)計(jì)算. 2.方程中含有多項(xiàng)式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化簡(jiǎn). 結(jié)果： 1.1234567892-123456788×123456790 =1234567892-（123456789-1）（123456789+1） =1234567892-（1234567892-1） =1234567892-1234567892+1 =1. 2.原方程可化為： 5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（ ）2]=2 ∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2 即5x+54x2-24-54x2+6=2 移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得5x=20 ∴x=4. 板書(shū)設(shè)計(jì) 備課資料 [例1]利用平方差公式計(jì)算： （1）（a+3）（a-3）（a2+9）； （2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）. 分析：（1）（a+3）（a-3）適合平方差公式的形式，應(yīng)先計(jì)算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）適合平方差公式的形式，應(yīng)先計(jì)算（2x-1）×（2x+1） 解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9） =（a2）2-92=a4-81； （2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1） =[（2x）2-12]（4x2+1） =（4x2-1）（4x2+1） =（4x2）2-1=16x4-1. 方法總結(jié)：觀察、發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)多項(xiàng)式符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，符合公式結(jié)構(gòu)特征的先算.這是這類試題的計(jì)算原則. [例2]計(jì)算： （1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12； （2）（1- ）（1- ）（1- ）…（1- ）（1- ）. 分析：直接計(jì)算顯然太復(fù)雜，不難發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚�(gè)項(xiàng)正好是平方相減的形式.于是便考慮能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去計(jì)算.事實(shí)上，這是可行的. 解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12） =（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1） =100+99+98+97+…+2+1 =（100+1）+（99+2）+…+（51+50） =50×101=5050； （2）（1- ）（1- ）（1- ）…（1- ）（1- ）. =（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）…（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ） = × × × × × ×…× × × × ＝ × = . 方法總結(jié)：逆用平方差公式產(chǎn)生了很好的效果。相信你也會(huì)運(yùn)用.
15．3 乘法公式 篇2
課 題9.5乘法公式的再認(rèn)識(shí)—因式分解
課時(shí)分配本課（章節(jié)）需 3 課時(shí)本 節(jié) 課 為 第 1 課時(shí)為 本 學(xué)期總第 課時(shí)一、運(yùn)用平方差公式分解因式
教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生了解運(yùn)用公式來(lái)分解因式的意義。2、使學(xué)生理解平方差公式的意義，弄清平方差公式的形式和特點(diǎn)；使學(xué)生知道把乘法公式反過(guò)來(lái)就可以得到相應(yīng)的因式分解。3、掌握運(yùn)用平方差公式分解因式的方法，能正確運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式分解因式（直接用公式不超過(guò)兩次）
重 點(diǎn)運(yùn)用平方差公式分解因式
難 點(diǎn)靈活運(yùn)用平方差公式分解因式
教學(xué)方法
對(duì)比發(fā)現(xiàn)法
課型
新授課
教具投影儀
教 師 活 動(dòng)
學(xué) 生 活 動(dòng)情景設(shè)置：同學(xué)們，你能很快知道992-1是100的倍數(shù)嗎？你是怎么想出來(lái)的？（學(xué)生或許還有其他不同的解決方法，教師要給予充分的肯定）新課講解：從上面992-1=（99+1）（99-1），我們?nèi)菀卓闯?這種方法利用了我們剛學(xué)過(guò)的哪一個(gè)乘法公式?首先我們來(lái)做下面兩題：(投影)1.計(jì)算下列各式:(1) (a+2)(a-2)= ;(2) (a+b)( a-b)= ;(3) (3 a+2b)(3 a-2b)= .2.下面請(qǐng)你根據(jù)上面的算式填空:(1) a2-4= ;(2) a2-b2= ;(3) 9a2-4b2= ;請(qǐng)同學(xué)們對(duì)比以上兩題，你發(fā)現(xiàn)什么呢？事實(shí)上，像上面第2題那樣，把一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解。（投影）比如：a2–16=a2–42=（a+4）（a–4）例題1：把下列各式分解因式；（投影）(1) 36–25x2 ; (2) 16a2–9b2 ;(3) 9(a+b)2–4(a–b)2 .(讓學(xué)生弄清平方差公式的形式和特點(diǎn)并會(huì)運(yùn)用)例題2：如圖，求圓環(huán)形綠化區(qū)的面積練習(xí)：第87頁(yè)練一練第1、2、3題小結(jié)：這節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)，掌握什么方法？教學(xué)素材：a組題：1.填空：81x2- =(9x+y)(9x-y); = 利用因式分解計(jì)算： = 。2、下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（ ） （a） （b） （c） （d） 3. 把下列各式分解因式(1) 1-16 a2 (2) 9a2 x2-b2y2(3).49(a-b)2-16(a+b)2b組題：1分解因式81 a 4-b4= 2若a+b=1, a2+b2=1 , 則ab= ;3若26+28+2n是一個(gè)完全平方數(shù)，則n= . 由學(xué)生自己先做(或互相討論)，然后回答，若有答不全的，教師(或其他學(xué)生)補(bǔ)充.學(xué)生回答1：992-1=99×99-1=9801-1=9800學(xué)生回答2：992-1就是（99+1）（99-1）即100×98學(xué)生回答:平方差公式學(xué)生回答:(1): a2-4(2): a2-b2(3): 9 a2-4b2學(xué)生輕松口答(a+2)(a-2)(a+b)( a-b)(3 a+2b)(3 a-2b)學(xué)生回答:把乘法公式(a+b)( a-b)=a2-b2反過(guò)來(lái)就得到a2-b2=(a+b)(a-b)學(xué)生上臺(tái)板演：36–25x2=62–(5x)2=（6+5x）（6–5x）16a2–9b2=(4a)2–(3b)2=（4a+3b）（4a–3b）9(a+b)2–4(a–b)2=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2=[3(a+b)+2(a–b)][3(a+b)–2(a–b)]=（5a+b）（a+5b）解：352π–152π=π（352–152）=（35+15）（35–15）π=50×20π=1000π （m2）這個(gè)綠化區(qū)的面積是1000πm2學(xué)生歸納總結(jié)
作業(yè)第91頁(yè)第1(1)(2)②③(3)①③④題
板 書(shū) 設(shè) 計(jì)復(fù)習(xí) 例1 板演…… …… ………… …… ………… 例2 ………… …… ………… …… ……
教 學(xué) 后 記