復數(shù)的加法與減法
教學重點和難點
重點:復數(shù)減法法則.
難點:對復數(shù)減法幾何意義理解和應用.
教學過程設計
(一)引入新課
上節(jié)課我們學習了復數(shù)加法法則及其幾何意義,今天我們研究的課題是復數(shù)減法及其幾何意義.(板書課題:復數(shù)減法及其幾何意義)
(二)復數(shù)減法
復數(shù)減法是加法逆運算,那么復數(shù)減法法則為( + i)-( + i)=( - )+( - )i,
1.復數(shù)減法法則
(1)規(guī)定:復數(shù)減法是加法逆運算;
(2)法則:( + i)-( + i)=( - )+( - )i( , , , ∈r).
把( + i)-( + i)看成( + i)+(-1)( + i)如何推導這個法則.
( + i)-( + i)=( + i)+(-1)( + i)=( + i)+(- - i)=( - )+( - )i.
推導的想法和依據(jù)把減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算.
推導:設( + i)-( + i)= + i( , ∈r).即復數(shù) + i為復數(shù) + i減去復數(shù) + i的差.由規(guī)定,得( + i)+( + i)= + i,依據(jù)加法法則,得( + )+( + )i= + i,依據(jù)復數(shù)相等定義,得
故( + i)-( + i)=( - )+( - )i.這樣推導每一步都有合理依據(jù).
我們得到了復數(shù)減法法則,兩個復數(shù)的差仍是復數(shù).是唯一確定的復數(shù).
復數(shù)的加(減)法與多項式加(減)法是類似的.就是把復數(shù)的實部與實部,虛部與虛部分別相加(減),即( + i)±( + i)=( ± )+( ± )i.
(三)復數(shù)減法幾何意義
我們有了做復數(shù)減法的依據(jù)——復數(shù)減法法則,那么復數(shù)減法的幾何意義是什么?
設z= + i( , ∈r),z1= + i( , ∈r),對應向量分別為 , 如圖
由于復數(shù)減法是加法的逆運算,設z=( - )+( - )i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由復數(shù)加法幾何意義,以 為一條對角線, 1為一條邊畫平行四邊形,那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量oz2就與復數(shù)z-z1的差( - )+( - )i對應,如圖.
在這個平行四邊形中與z-z1差對應的向量是只有向量 2嗎?
還有 . 因為oz2 z1z,所以向量 ,也與z-z1差對應.向量 是以z1為起點,z為終點的向量.
能概括一下復數(shù)減法幾何意義是:兩個復數(shù)的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應.
(四)應用舉例
在直角坐標系中標z1(-2,5),連接oz1,向量 1與多數(shù)z1對應,標點z2(3,2),z2關(guān)于x軸對稱點z2(3,-2),向量 2與復數(shù)對應,連接,向量與的差對應(如圖).
例2 根據(jù)復數(shù)的幾何意義及向量表示,求復平面內(nèi)兩點間的距離公式.
解:設復平面內(nèi)的任意兩點z1,z2分別表示復數(shù)z1,z2,那么z1z2就是復數(shù)對應的向量,點之間的距離就是向量的模,即復數(shù)z2-z1的模.如果用d表示點z1,z2之間的距離,那么d=|z2-z1|.
例3 在復平面內(nèi),滿足下列復數(shù)形式方程的動點z的軌跡是什么.
(1)|z-1-i|=|z+2+i|;