復數的加法與減法
方程左
可以看成|z-(1+i)|,是復數z與復數1+i差的模.
幾何意義是是動點z與定點(1,1)間的距離.方程右式也可以寫成|z-(-2-i)|,是復數z與復數-2-i差的模,也就是動點z與定點(-2,-1)間距離.這個方程表示的是到兩點(+1,1),(-2,-1)距離相等的點的軌跡方程,這個動點軌跡是以點(+1,1),(-2,-1)為端點的線段的垂直平分線.
(2)|z+i|+|z-i|=4;
方程可以看成|z-(-i)|+|z-i|=4,表示的是到兩個定點(0,-1)和(0,1)距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.
(3)|z+2|-|z-2|=1.
這個方程可以寫成|z-(-2)|-|z-2|=1,所以表示到兩個定點(-2,0),(2,0)距離差等于1的點的軌跡,這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.
由z1-z2幾何意義,將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|,由此得到線段垂直平分線,橢圓、雙曲線等復數方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質特征.
例4 設動點z與復數z= + i對應,定點p與復數p= + i對應.求
(1)復平面內圓的方程;
解:設定點p為圓心,r為半徑,如圖
由圓的定義,得復平面內圓的方程|z-p|=r.
(2)復平面內滿足不等式|z-p|<r(r∈r+)的點z的集合是什么圖形?
解:復平面內滿足不等式|z-p|<r(r∈r+)的點的集合是以p為圓心,r為半徑的圓面部分(不包括周界).利用復平面內兩點間距離公式,可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程.不等式等問題.
(五)小結
我們通過推導得到復數減法法則,并進一步得到了復數減法幾何意義,應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式,可以用復數研究解析幾何問題,不等式以及最值問題.
(六)布置作業p193習題二十七:2,3,8,9.
探究活動
復數等式的幾何意義
復數等式 在復平面上表示以 為圓心,以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。
分析與解
1. 復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。
2. 復數等式 在復平面上表示一個橢圓。
3. 復數等式 在復平面上表示一條線段。
4. 復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。
5. 復數等式 在復平面上表示原點為o、 構成一個矩形。
說明 復數與復平面上的點有一一對應的關系,如果我們對復數的代數形式工(幾何意義)之
間的關系比較熟悉的話,必然會強化對復數知識的掌握。
復數的加法與減法