證明
§1.1、你能證明它們嗎(一)
一、教學(xué)目標(biāo):
1、了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容,掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式。
2、經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
3、結(jié)合實(shí)例體會(huì)反證法的含義。
二、教學(xué)重點(diǎn):了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容,通過(guò)等腰三角形性質(zhì)證明,掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式。
教學(xué)難點(diǎn):能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理(特別是證明等腰三角形性質(zhì)時(shí)輔助線做法)。
三、教學(xué)方法:觀察法。
四、教學(xué)過(guò)程:
復(fù)習(xí):
1、什么是等腰三角形?
2、你會(huì)畫(huà)一個(gè)等腰三角形嗎?并把你畫(huà)的等腰三角形栽剪下來(lái)。
3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質(zhì)?
新課講解:
在《證明(一)》一章中,我們已經(jīng)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論,運(yùn)用下面的公理和已經(jīng)證明的定理,我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論。
同學(xué)們和我一起來(lái)回憶上學(xué)期學(xué)過(guò)的公理
w 本套教材選用如下命題作為公理 :
w 1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;
w 2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;
w 3.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; (sas)
w 4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; (asa)
w 5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; (sss)
w 6.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.
由公理5、3、4、6可容易證明下面的推論:
推論 兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(aas)
證明過(guò)程:
已知:∠a=∠d,∠b=∠e,bc=ef
求證:△abc≌△def
證明:∵∠a+∠b+∠c=180°,
∠d+∠e+∠f=180°
(三角形內(nèi)角和等于180°)
∴∠c=180°-(∠a+∠b)
∠f=180°-(∠d+∠e)
又∵∠a=∠d,∠b=∠e(已知)
∴∠c=∠f
又∵bc=ef(已知)
∴△abc≌△def(asa)
(這個(gè)推論雖然簡(jiǎn)單,但也應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)行證明,以熟悉的基本要求和步驟,為下面的推理證明做準(zhǔn)備。)
議一議:
(1)還記得我們探索過(guò)的等腰三角形的性質(zhì)嗎?(教師提出問(wèn)題,并利用等腰三角形紙片幫議助學(xué)生回憶。學(xué)生充分討論問(wèn)題1,借助等腰三角形紙片回憶有關(guān)性質(zhì)。)
(2)你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎?
(等腰三角形(包括等邊三角形)的性質(zhì)學(xué)生已經(jīng)探索過(guò),這里先讓學(xué)生盡可能回憶出來(lái),然后再考慮哪些能夠立即證明。)
定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等。
這一定理可以簡(jiǎn)單敘述為:等邊對(duì)等角。
已知:如圖,在abc中,ab=ac。
求證:∠b=∠c
(引導(dǎo)學(xué)生證明定理“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”,重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生做輔助線,將等腰三角形分成兩個(gè)全等的三角形: 我們剛才利用折疊的方法說(shuō)明了這兩個(gè)底角相等。實(shí)際上,折痕將等腰三角形分成了兩個(gè)全等三角形。能否通過(guò)作一條線段,得到兩個(gè)全等的三角形,從而證明這兩個(gè)底角相等呢?)
證明:取bc的中點(diǎn)d,連接ad。