第一章 “有理數”簡介

課程教材研究所　薛彬　　本章是第三學段教科書的第一章，既承接前兩個學段的內容，又為進一步學習打下基礎。本章主要內容是有理數的有關概念及其運算。首先，從實例出發引入負數,接著引進關于有理數的一些概念，在此基礎上，介紹有理數的加減法運算。　　本章教學時間約需21課時，具體安排如下： 　　1.1正數和負數約2課時 　　1.2有理數約5課時

　　1.3有理數的加減法約4課時

　　1.4有理數的乘除法約4課時

　　1.5有理數的乘方約4課時

　　數學活動 　　小結約2課時

　　一、教科書內容和課程學習目標  　　本章知識結構框圖如下： 　　　　　　引入負數是實際的需要，也是學習第三學段數學內容，特別是數與代數內容的需要。 　　引進數軸可以把有理數用數軸上的一個點直觀地表示出來，從而可以直觀地介紹相反數、絕對值，同時為用數軸引進有理數的加法法則與乘法法則作準備。 　　引入相反數的概念，一方面，可以加深對相反意義的量的認識，另一方面，可以為學習絕對值、有理數減法等作準備。 　　引入絕對值的的概念，可以加深對有理數的認識：一個有理數由符號與絕對值確定。兩個負數比較大小，有理數運算也要借助絕對值這個概念。 　　本章的重點是有理數的運算。加法與乘法都是在介紹運算法則——著重是符號法則的基礎上，進行基本運算，然后結合具體例子引入運算律，并運用運算律簡化運算。 　　減法與除法，則是著重介紹如何向加法與乘法轉化，從而利用加法與乘法的運算法則、運算律進行運算。 　　乘方是幾個相同因數的乘積，也就可以利用乘法運算。科學記數法與乘方有關，因而可進一步加以介紹。近似數在實際問題中有廣泛的應用，有必要在本章作進一步的認識。近似數的內容與乘方也有一定的聯系，例如，大數的近似數用科學記數法表示，可以清楚地看出保留的有效數字的個數。 　　為了加強與相關運算的聯系，利用計算器計算分散安排在相關內容中。例如，教科書用計算器計算一些負數的乘方，進而探求負數的乘方的符號規律。學會了使用計算器進行有理數運算，較復雜的計算就可以用計算器完成。簡單的有理數運算仍需要學生熟練地用筆算完成。 　　本章的教學要求如下： 　　1.通過實際例子，感受引入負數的必要性。會用正負數表示實際問題中的數量。 　　2.理解有理數的意義，能用數軸上的點表示有理數。借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求有理數的相反數與絕對值（絕對值符號內不含字母），會比較有理數的大小。通過上述內容的學習，體會從數與形兩方面考慮問題的方法。 　　3.掌握有理數的加、減、乘、除運算，理解有理數的運算律，并能運用運算律簡化運算。能運用有理數的運算解決簡單的問題。 　　理解乘方的意義，會進行乘方的運算及簡單的混合運算（以三步為主）。 　　通過實例進一步感受大數，并能用科學記數法表示。了解近似數與有效數字的概念。 　　二、本章編寫特點  　　1.加強與實際的聯系 　　（1）從實際出發引入有關內容 　　章前引言注意與實際的聯系，用溫度、凈勝球、零件生產、納米的實例引入本章的內容。通過第一節開頭回顧學過的數的產生和發展的過程，說明數的產生和發展離不開生活和生產的需要。 　　有理數的有關概念注意從實際引入。例如，數軸是通過描述位置的問題引出的，并讓學生通過溫度計加深對數軸的認識。又如，通過一個“觀察”，欄目，給出未來一周天氣預報，提出問題“你能將圖中給出的各個溫度按從低到高的順序排列嗎？”，從而引出有理數比較大小的內容。 　　從實際出發引入有理數的運算。例如，通過足球比賽中，計算章前引言中紅隊和白隊的凈勝凈勝球數，出現 　　4＋（－2），1+（－1）， 　　引出正數與負數的加法.又如，通過某地一天的氣溫是－3℃～4℃，這天的溫差（℃）就是4－（－3），引出正數與負數的減法. 　　（2）運用有關內容解決實際問題 　　教科書通過引言中溫度、凈勝球、加工允許誤差的實例引出負數后，進一步介紹正負數在實際中的應用。例如，在地形圖上表示某地的高度要用到正負數。又如，銀行儲蓄中存入用正數表示，支出用負數表示。再如，用正負數描述體重、出口總額的增減變化。通過這些例子，讓學生進一步體會引入負數在解決實際問題中的作用。 　　學過有理數的有關運算后，即可運用相應運算解決實際問題。例如，運用有理數加法解決有關求和的實際問題，運用有理數的乘法解決氣溫變化的問題，運用有理數的混合運算解決公司盈虧問題。 　　讓學生通過“數學活動”將本章內容運用于實際。例如，讓學生運用本章有關內容掌握家庭的生活收支情況。又如，讓學生運用本章有關內容描述一周的氣溫情況。再如，讓學生收集實例，體會科學記數法和近似數等在實際中的應用。 　　2.運用數形結合的方法 　　學習本章的一個關鍵，就是利用數軸的直觀性，幫助學生理解相反數與絕對值的概念，掌握比較有理數大小的方法，認識有理數的運算法則。 　　從數軸上看，有許多對關于原點對稱的點，從而引出相反數加以描述。除了關于原點對稱的點以外，數軸上不同的點到原點的距離不同，這又可以引入絕對值加以描述。利用數軸規定有理數的順序，既直觀又涵蓋了有理數比較大小的各種情況。 　　利用數軸分析物體運動的實例，可以非常直觀地獲得物體兩次運動的結果，從而引出有理數加法的運算法則。 　　教科書還利用數軸、通過蝸牛運動的例子引出有理數乘法法則。在前兩個學段，學生對速度×時間＝路程已經熟悉：如果知道速度，時間，就可以用速度×時間求出路程，如果再知道運動的起點，運動的方向，就可以用速度×時間確定運動一段時間后的位置。在此基礎上，可進一步指出，如果把時間區分為現在前與現在后，速度×時間就表示一段時間前與一段時間后的位置。另一方面，這個位置借助數軸容易確定，從而寫出相應的算式。可以看到，有了數軸，上述內容就能夠清楚地呈現。 　　3.讓學生通過觀察、思考、探究、討論、歸納，主動地進行學習　　讓學生從身邊事物的觀察入手，可以加深學生對所學內容的印象。例如，觀察溫度計可以使學生獲得數軸的直觀感受。又如，讓學生觀察一周天氣預報，使他們感受到比較溫度高低的必要，從而引出有理數比較大小的內容。再如，讓學生觀察運算結果的符號，使他們掌握有理數運算的符號規律。 　　勤于思考，善于思考，是學好數學的必要條件。教科書中穿插安排了大量的思考欄目。例如，讓學生思考有理數的分類方法。又如，讓學生思考加法運算律在有理數范圍是否成立。再如，讓學生思考運算律簡化計算的作用。這些欄目有的通過對問題的思考獲得結論，有的通過對解決問題的過程的反思加深認識。要讓學生積極動腦，積極參與，激發他們學習的熱情。 　　　　探究是解決問題，探求結論的過程，要讓學生知其然，更知其所以然。例如，在本章中，讓學生通過數軸探求物體兩次運動的結果，從而認識有理數的加法運算法則，以及探究有理數乘法法則。在這些問題中，學生自己探索發現，體驗獲得結論的過程。 　　討論是合作交流，從而互相啟發，互相促進的一種方式。積極交流表達思想可以促進數學思考，擴大和加深對問題的認識。例如，通過對有理數減法與有理數加法的關系的討論，讓學生結合具體例子尋找結論，在這個過程中共同探索，共同發現，共同交流，共同分享成功的喜悅。成功的討論可以使學生感受集體的力量。 　　在觀察、思考、討論的基礎上歸納結論是學習過程中的一個重要環節。結論是探索的結果，又要進一步運用于解決問題中。如歸納正負數的相反意義，加減運算的統一。要通過歸納讓學生體會從特殊到一般，從具體到抽象的過程，使他們既學會發現，又學會總結。