第八章 “二元一次方程組”簡(jiǎn)介
課程教材研究所 田載今一、本章主要內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
（一）本章主要內(nèi)容
本章屬于《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“數(shù)與代數(shù)”部分.
涉及求多個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題是普遍存在的，而方程組是解決這些問(wèn)題的有力工具.本章在學(xué)生對(duì)一元一次方程已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)二元一次方程組進(jìn)行討論，并由此為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程組及不等式組奠定基礎(chǔ).
本章的主要內(nèi)容包括：利用二元一次方程組分析與解決實(shí)際問(wèn)題，二元一次方程組及其相關(guān)概念，消元思想和代入法、加減法解二元一次方程組.其中，以方程組為工具分析問(wèn)題、解決含有多個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題是全章重點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)中的難點(diǎn).
使學(xué)生經(jīng)歷建立二元一次方程組這種數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用它解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程組的特點(diǎn)和作用，掌握運(yùn)用方程組解決問(wèn)題的一般方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)創(chuàng)新精神和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，是本章的中心任務(wù).由于含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系比較多，在某些問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，所以列方程組表示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系通常是教學(xué)中的難點(diǎn).
全章共包括三節(jié)：
8.1 二元一次方程組
8.2 消元
8.3 再探實(shí)際問(wèn)題和二元一次方程組
第8.1節(jié)首先從一個(gè)籃球聯(lián)賽中的問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生直接用x和 表示兩個(gè)未知數(shù)，并進(jìn)一步表示問(wèn)題中的兩個(gè)等量關(guān)系，得到兩個(gè)相關(guān)的方程.然后，教科書以這兩個(gè)具體方程為例，讓學(xué)生體驗(yàn)二元一次方程、二元一次方程組的特征，歸納出二元一次方程組及其解的概念，并估算簡(jiǎn)單的二元一次方程（組）的解.
第8.2節(jié)的標(biāo)題“消元”點(diǎn)出了這一節(jié)的核心.二元一次方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，由兩個(gè)方程得出一個(gè)方程，就得到前面已學(xué)習(xí)過(guò)的一元一次方程，由它可以先解出一個(gè)未知數(shù)，然后再設(shè)法求另一個(gè)未知數(shù).這一節(jié)首先從討論解方程組的需要出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從解決問(wèn)題的基本策略的角度認(rèn)識(shí)消元思想.然后，教科書依次討論了兩種通過(guò)消元解方程組的常用方法——代入法和加減法，并結(jié)合具體問(wèn)題用框圖形式表示了這兩種解法的一般過(guò)程.
本章最后的8.3節(jié)特別安排了“再探實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組”的內(nèi)容，選擇了三個(gè)具有一定綜合性的問(wèn)題（ “牛飼料問(wèn)題”“種植計(jì)劃問(wèn)題”“成本與產(chǎn)出問(wèn)題” ），提供給學(xué)生利用方程組為工具進(jìn)行具有一定深度的思考，增加運(yùn)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)踐，把全章所強(qiáng)調(diào)的以方程組為工具把實(shí)際問(wèn)題模型化的思想提到新的高度.為切實(shí)提高利用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的能力，這節(jié)內(nèi)容的問(wèn)題形式包括：估算與精確計(jì)算的比較（探究1），開放地尋求設(shè)計(jì)方案（探究2），根據(jù)圖表所表示的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)信息列方程組（探究3）.安排這節(jié)的目的在于：一方面通過(guò)實(shí)際生活中的問(wèn)題，進(jìn)一步突出方程組這種數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性和有效性；另一方面使學(xué)生能在解決實(shí)際問(wèn)題的情境中運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合能力.