數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程與數(shù)學(xué)教學(xué)策略
2.知覺(jué)到新知識(shí)的潛在意義后，要達(dá)到對(duì)新知識(shí)的理解，還需要新舊知識(shí)相互作用，這一思維過(guò)程從聯(lián)想開(kāi)始。
聯(lián)想即把原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與數(shù)學(xué)新知識(shí)有聯(lián)系的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)(如概念、命題、術(shù)語(yǔ)、思想方法等)分化出來(lái)，以提供內(nèi)化新知識(shí)的銜接點(diǎn)和組織者。它包括選取原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新知識(shí)有關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，區(qū)分新舊知識(shí)的異同，分化與新知識(shí)有本質(zhì)聯(lián)系的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等幾個(gè)環(huán)節(jié)。對(duì)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(如問(wèn)題解決)，聯(lián)想是創(chuàng)造性思維的第一步，即它能綜合已有的知識(shí)，在對(duì)問(wèn)題情景的整體把握基礎(chǔ)上，構(gòu)造出新問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)和模型，從而對(duì)問(wèn)題的解決提出假設(shè)。
例如，中學(xué)生在學(xué)習(xí)矩形概念時(shí)，他們從日常生活和小學(xué)學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形概念中取得了潛在意義；然后，通過(guò)聯(lián)想，從原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中分化出內(nèi)化新知識(shí)的銜接點(diǎn)——平行四邊形概念和性質(zhì)。
聯(lián)想的結(jié)果，使新舊知識(shí)建立了實(shí)質(zhì)的、非人為的聯(lián)系。接著，學(xué)生可以運(yùn)用已分化出的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)內(nèi)化新知識(shí)，并且以同化和順應(yīng)兩種形式來(lái)進(jìn)行。
3.同化是利用原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去說(shuō)明、解釋并容納數(shù)學(xué)新知識(shí)。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)矩形的概念就是利用平行四邊形概念進(jìn)行同化的過(guò)程。
順應(yīng)是指當(dāng)原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能有效地容納數(shù)學(xué)新知識(shí)時(shí)，主體將對(duì)原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造，以適應(yīng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)。順應(yīng)的過(guò)程是：對(duì)新知識(shí)進(jìn)行歸納、概括，對(duì)原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造和整理，從而使新舊知識(shí)建立密切聯(lián)系，新知識(shí)被納入到學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到改造并擴(kuò)大。例如，初一學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識(shí)，就是通過(guò)順應(yīng)來(lái)進(jìn)行的。盡管他們?cè)谛W(xué)學(xué)過(guò)算術(shù)，但算術(shù)與代數(shù)的不一致性，使他們只能改造頭腦中已有的算術(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過(guò)字母代表數(shù)的學(xué)習(xí)，才逐漸掌握代數(shù)知識(shí)。
如果說(shuō)同化的作用是改造新數(shù)學(xué)知識(shí)使之與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相吻合的話，那么順應(yīng)則是改造原認(rèn)知結(jié)構(gòu)以適應(yīng)學(xué)習(xí)新知識(shí)的需要，因而同化只能從量上豐富原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，順應(yīng)則能從質(zhì)上改變數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不過(guò)，同化和順應(yīng)往往存在于同一個(gè)認(rèn)知活動(dòng)中，在同化中有順應(yīng)，而在順應(yīng)中，盡可能先同化。例如，數(shù)系的一系列擴(kuò)張，就是舊數(shù)系順應(yīng)新數(shù)系，而新數(shù)系則盡可能保持舊數(shù)系的原有法則，這是一個(gè)實(shí)質(zhì)上順應(yīng)，形式上同化的過(guò)程。
值得指出的是，不管同化或順應(yīng)，總要對(duì)原有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和新知識(shí)作出重新評(píng)價(jià)。即使新知識(shí)可作為原數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的補(bǔ)充和完善，原數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的某些部分也應(yīng)重新分類、重新形成概念，并且這一過(guò)程還特別需要元認(rèn)知系統(tǒng)的監(jiān)控、調(diào)節(jié)。
經(jīng)過(guò)同化和順應(yīng)后，新數(shù)學(xué)知識(shí)納入了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化。但是新舊知識(shí)的相互作用并未停止，新知識(shí)的保持和遺忘就是同一相互作用的繼續(xù)。因此，只有采用一定的強(qiáng)化措施，才能鞏固所獲得的新知識(shí)。
(四)強(qiáng)化階段是數(shù)學(xué)新知識(shí)的進(jìn)一步理解和鞏固階段，它是通過(guò)練習(xí)、形成性評(píng)價(jià)、小結(jié)(概括)、靈活運(yùn)用等方式而實(shí)現(xiàn)的。
1.練習(xí)過(guò)程是學(xué)生把數(shù)學(xué)新知識(shí)初步運(yùn)用于具體情境中的過(guò)程。通過(guò)練習(xí)，可以使自己對(duì)新知識(shí)的理解程度有明確的認(rèn)識(shí)，從而起反饋?zhàn)饔茫豢梢允棺约簩?duì)新知識(shí)的理解更完整化、具體化，從而進(jìn)一步保持和長(zhǎng)時(shí)間鞏固新知識(shí)，并形成技能；同時(shí)，還有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，維持良好的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。有時(shí)，練習(xí)還可以使學(xué)生產(chǎn)生整體感受，從而為領(lǐng)悟數(shù)學(xué)整體的突出性質(zhì)——數(shù)學(xué)思想打下基礎(chǔ)。
課堂例題、課堂練習(xí)、課外作業(yè)等都可看作是練習(xí)。
2.應(yīng)當(dāng)說(shuō)，形成性評(píng)價(jià)是以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的領(lǐng)會(huì)程度為標(biāo)準(zhǔn)的，因而它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)新知識(shí)意義的獲得和保持過(guò)程的始終。它又包括教師課內(nèi)診斷和學(xué)生自我評(píng)價(jià)兩個(gè)方面。教師對(duì)學(xué)生的課內(nèi)診斷一般通過(guò)觀察、提問(wèn)和形成性測(cè)試等手段進(jìn)行。學(xué)生的自我評(píng)價(jià)一般是從教師的評(píng)價(jià)、原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中元認(rèn)知的監(jiān)控和調(diào)節(jié)作用以及練習(xí)中得出的，它也包括認(rèn)知和情感兩方面內(nèi)容。
通過(guò)形成性評(píng)價(jià)后，學(xué)生對(duì)于自己掌握新知識(shí)的情況有所了解，從而調(diào)節(jié)自己進(jìn)一步努力的方向；同時(shí)，教師可對(duì)癥下藥，采取補(bǔ)救措施。
3.小結(jié)是指在獲得新知識(shí)的意義并通過(guò)練習(xí)(通過(guò)變式和具體運(yùn)用，抓住本質(zhì)特征)后，用最簡(jiǎn)單、最經(jīng)濟(jì)、概括性最強(qiáng)的術(shù)語(yǔ)對(duì)新知識(shí)加以組織，使數(shù)學(xué)新知識(shí)變?yōu)榫哂懈爬ㄐ裕苋诤嫌谝延兄R(shí)經(jīng)驗(yàn)中的基本概念、基本命題、公式甚至思想等，從而使新知識(shí)更加鞏固。通過(guò)小結(jié)，新知識(shí)由于其概括性而具有更大的遷移價(jià)值，即還能影響后繼學(xué)習(xí)和運(yùn)用它們解決問(wèn)題。
4.新知識(shí)的靈活運(yùn)用過(guò)程是指創(chuàng)造性地利用新知識(shí)去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題及其他問(wèn)題的過(guò)程。實(shí)際上，解決問(wèn)題是在對(duì)問(wèn)題情景和題目條件的整體把握的情況下，利用原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)從整體的角度把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，再結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)調(diào)動(dòng)各種數(shù)學(xué)思維成分(如邏輯思維、直覺(jué)思維、發(fā)散思維和輻合思維等)的參與，從而提出嘗試性模型(假設(shè))，并檢驗(yàn)假設(shè)以達(dá)到目的。
靈活運(yùn)用是檢查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的綜合性指標(biāo)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高目標(biāo)。