《質數和合數》案例分析
【片斷】
“前面，我們按照一個數是否能被2整除可以把自然數分為兩類，奇數和偶數。今天我們能否重新給自然數分類呢？”說著，我在黑板上板書了“自然數”三個字，并在下面畫了一個橢圓。
生①：“可以分為質數和合數兩類。”
生②：“不對，還要再加上‘1’才行！”
生③：“我也同意把自然數分為三類，就是‘1’、‘質數’和‘合數’。”
她把“1”畫在一個小小的圈里（上圖①），“為什么把‘1’畫在這個小小的圈里呢？”我不解地問。
“因為只有‘1’�。�”她更不解地看著我。
“你覺得‘1’只有一個，是嗎？”
女孩點點頭。
“‘1’雖然這一類只有一個，可它也是一類啊，對不對？是一類就應該享有平等的‘權利’，是嗎？”我問大家。
“是的。”全體同學作答。
“那我們可以這樣來表示嗎？”（如圖②）。
“可以。”
“那你們再來猜猜看，在非零自然數中是質數多還是合數多？”
“因為質數和合數都有無限多個，所以應該畫一樣的。”
【分析】
1、片斷重在解決兩個問題，一個是“1”在非零自然數的這一次分類中到底占有幾席之地？一個是“質數”和“合數”兩者中誰的個數更多？第一問題學生可以絲毫不經思考地把“1”圈在一個很小的圈里，這是學生真實的想法，因為“1”就只有一個數，而質數和合數有那么多，就應該在那個集合里畫一個小小的圈。可是從分類的角度出發，盡管“1”只有一個數，質數和合數各有那么多，可“1”在這里它也代表著一類，類與類之間應該是平等的，各有自己的特征，所以把非零自然數的分類作了上述處理。
2、學生從1～12這12個數的分類中可以明顯地感覺到，質數少于合數，于是大多數人認為質數少，合數多。那么教師就要借助于“自然數個數、有沒有最大自然數”等學生的已有認識進行有效的遷移，逐漸浸潤“極限”的思想，讓學生在朦朧中感覺兩者皆為無限多。在這里，教師就要打碎學生初步的、原生態的固有思維習慣，把它調整到數學的、合理的、有挑戰性的思維平臺上來，這是又一次思維水平的提升。