《質數和合數》案例分析
【片斷】
“前面,我們按照一個數是否能被2整除可以把自然數分為兩類,奇數和偶數。今天我們能否重新給自然數分類呢?”說著,我在黑板上板書了“自然數”三個字,并在下面畫了一個橢圓。
生①:“可以分為質數和合數兩類。”
生②:“不對,還要再加上‘1’才行!”
生③:“我也同意把自然數分為三類,就是‘1’、‘質數’和‘合數’。”
她把“1”畫在一個小小的圈里(上圖①),“為什么把‘1’畫在這個小小的圈里呢?”我不解地問。
“因為只有‘1’。”她更不解地看著我。
“你覺得‘1’只有一個,是嗎?”
女孩點點頭。
“‘1’雖然這一類只有一個,可它也是一類啊,對不對?是一類就應該享有平等的‘權利’,是嗎?”我問大家。
“是的。”全體同學作答。
“那我們可以這樣來表示嗎?”(如圖②)。
“可以。”
“那你們再來猜猜看,在非零自然數中是質數多還是合數多?”
“因為質數和合數都有無限多個,所以應該畫一樣的。”
【分析】
1、片斷重在解決兩個問題,一個是“1”在非零自然數的這一次分類中到底占有幾席之地?一個是“質數”和“合數”兩者中誰的個數更多?第一問題學生可以絲毫不經思考地把“1”圈在一個很小的圈里,這是學生真實的想法,因為“1”就只有一個數,而質數和合數有那么多,就應該在那個集合里畫一個小小的圈。可是從分類的角度出發,盡管“1”只有一個數,質數和合數各有那么多,可“1”在這里它也代表著一類,類與類之間應該是平等的,各有自己的特征,所以把非零自然數的分類作了上述處理。
2、學生從1~12這12個數的分類中可以明顯地感覺到,質數少于合數,于是大多數人認為質數少,合數多。那么教師就要借助于“自然數個數、有沒有最大自然數”等學生的已有認識進行有效的遷移,逐漸浸潤“極限”的思想,讓學生在朦朧中感覺兩者皆為無限多。在這里,教師就要打碎學生初步的、原生態的固有思維習慣,把它調整到數學的、合理的、有挑戰性的思維平臺上來,這是又一次思維水平的提升。