第十九章“四邊形”簡介

課程教材研究所　李海東 　同三角形一樣，四邊形也是基本的平面圖形。也是本學段“空間與圖形”的主要研究對象。本章將在前面學生學過的平行線和三角形的基礎上進一步研究一些特殊四邊形的知識，探索平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的有關性質和常用判定方法，并結合對相關內容的推理證明，發展學生的邏輯思維能力。本章共安排四個小節和三個選學內容，教學時間約需17課時，具體分配如下（僅供參考）： 　　19.1 平行四邊形                                        5課時 　　19.2 特殊的平行四邊                                    6課時 　　19.3 梯形                                              2課時 　　19.4 課題學習  重心                                    2課時  　　數學活動 　　小結                                               2課時 　　一、教科書內容和課程學習目標 　　（一）本章知識結構框圖 　　本章知識結構如下圖所示：  　　（二）教科書內容 　　四邊形是人們日常生活中應用較廣的一種幾何圖形，尤其是平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形的用處更多。因此，四邊形既是幾何中的基本圖形，也是“空間與圖形”領域主要研究的對象之一。本章是在學生前面學段已經學過的四邊形知識、本學段學過的多邊形、平行線、三角形的有關知識的基礎上來學習的，也可以說是在已有知識的基礎上作進一步較系統的整理和研究，本章內容的學習也反復運用了平行線和三角形的知識。從這個角度上來看，本章的內容也是前面平行線和三角形等內容的應用和深化。 　　由于學生前面學段已經接觸過了一些四邊形，在本學段七年級下冊“三角形”一章中也研究了一般多邊形及其內角和等內容，因此本章沒有從一般的四邊形講起，在引言后直接進入了特殊的四邊形的學習。對于特殊的四邊形，教科書按對邊之間的平行關系把它們分成了兩類：兩組對邊分別平行的四邊形──平行四邊形，一組對邊平行、另一組對邊不平行的四邊形──梯形。在平行四邊形中，除了研究一般平行四邊形外，還重點研究了矩形、菱形、正方形。在梯形中，重點研究了等腰梯形。 　　對于平行四邊形，按照圖形概念的從屬關系，教科書把它分為三個層次安排了兩個小節的內容。第一個層次是平行四邊形，它是兩組對邊分別平行的四邊形。教科書第1小節主要研究平行四邊形的概念、性質和判定方法，作為判定方法的一個應用，引出了三角形中位線定理。在此基礎上，教科書在第2小節“特殊的平行四邊形”中，進一步研究了平行四邊形的特殊情況。這里包含兩個層次，第二個層次是矩形和菱形，它們都是有一個特殊條件的平行四邊形，它們分別是平行四邊形中有一個角是直角或有一組鄰邊相等的特殊的平行四邊形。教科書第19.2.1節和第19.2.2節主要研究矩形和菱形的概念、性質和判定方法。在此基礎上，進一步研究它們的特殊情況。第三個層次是同時具有兩個特殊條件的平行四邊形，即正方形，它是有一個角是直角的特殊菱形，又是有一組鄰邊相等的特殊矩形，所以正方形具有各種四邊形所具有的性質。教科書第19.2.3節給出了正方形的概念，并讓學生自己研究它的性質和判定方法。 　　梯形是與平行四邊形并列的另一種特殊四邊形，它有一組對邊平行，另一組對邊不平行。教科書在“19.3 梯形”中，除了研究一般的梯形外，重點研究了一種特殊的梯形──等腰梯形，研究等腰梯形的性質和判定方法。接下來，教科書安排了一個課題學習：重心。通過尋找幾何圖形的重心的活動，了解規則的幾何圖形的重心就是它的幾何中心，體會數學與物理學科之間的聯系。  　　本章內容的重點是平行四邊形的定義、性質和判定。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的性質和判定都是在平行四邊形的基礎上擴充的。它們的探索方法，也都與平行四邊形性質和判定的探索方法一脈相承。梯形的性質、三角形中位線定理等的推證，也都是以平行四邊形的有關定理為依據的，是平行四邊形知識的綜合應用。另外，平行四邊形的有關定理，也常常是證明兩條線段相等、兩角相等、兩直線平行或垂直的重要依據，所以掌握平行四邊形的概念、性質和判定，并能應用這些知識解決問題，是學好本章的關鍵。 　　本章的教學內容聯系比較緊密，研究問題的思路和方法也類似，推理論證的難度也不太大。相對來說，平行四邊形與各種特殊平行四邊形之間的聯系與區別，則是本章的教學難點。因為各種平行四邊形概念交錯，容易混淆，常會出現“張冠李戴”的現象。在應用它們的性質和判定的時候，也常常會出現用錯或多用或少用條件的錯誤。教學中要注意用“集合”的思想，結合教科書中的關系圖，分清這些四邊形的從屬關系，梳理它們的性質和判定方法，是克服這一難點的關鍵。