等差數列的前n項和
教學用具
實物投影儀,多媒體軟件,電腦.
教學方法
講授法.
教學過程
一.新課引入
提出問題(播放媒體資料):一個堆放鉛筆的v形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放100支.這個v形架上共放著多少支鉛筆?(課件設計見課件展示)
問題就是(板書)“ ”
這是小學時就知道的一個故事,高斯的算法非常高明,回憶他是怎樣算的.(由一名學生回答,再由學生討論其高明之處)高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數可以分為50組,第一個數與最后一個數一組,第二個數與倒數第二個數一組,第三個數與倒數第三個數一組,…,每組數的和均相等,都等于101,50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉化為乘法運算,迅速準確得到了結果.
我們希望求一般的等差數列的和,高斯算法對我們有何啟發(fā)?
二.講解新課
(板書)等差數列前 項和公式
1.公式推導(板書)
問題(幻燈片):設等差數列 的首項為 ,公差為 , 由學生討論,研究高斯算法對一般等差數列求和的指導意義.
思路一:運用基本量思想,將各項用 和 表示,得
,有以下等式
,問題是一共有多少個 ,似乎與 的奇偶有關.這個思路似乎進行不下去了.
思路二:
上面的等式其實就是 ,為回避個數問題,做一個改寫 , ,兩式左右分別相加,得
,
于是有: .這就是倒序相加法.
思路三:受思路二的啟發(fā),重新調整思路一,可得 ,于是 .
于是得到了兩個公式(投影片): 和 .
2.公式記憶
用梯形面積公式記憶等差數列前 項和公式,這里對圖形進行了割、補兩種處理,對應著等差數列前 項和的兩個公式.
3.公式的應用
公式中含有四個量,運用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1) ;
(2) (結果用 表示)
解題的關鍵是數清項數,小結數項數的方法.
例2.等差數列 中前多少項的和是9900?
本題實質是反用公式,解一個關于 的一元二次函數,注重得到的項數 必須是正整數.
三.小結
1.推導等差數列前 項和公式的思路;
2.公式的應用中的數學思想.
四.板書設計