九年級上冊《實際問題與一元二次方程》導學案(第3課時)
設上面邊襯寬度和左面邊襯寬度分別為 cm和cm,中央長方形的長和寬分別為x cm和y cm.
把“正中央是一個與整個封面長度比例相同的矩形,四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一”翻譯成數學符號語言可得:.
教師追問: 四個未知數、,它們之間還存在怎樣的數量關系?
這是這節課的一個難點,要給學生充分的時間獨立思考,如學生確有困難,教師可適時提示:探究3的問題中還有一個重要的條件“圖形”,同學們看看“圖形”告訴了我們什么?
把“圖形語言”翻譯成數學符號語言可得: .
【設計意圖】把“探究3”符號化,為應用數學知識解決問題創造條件.
3.解決問題
問題4 怎么解決“封面設計問題”?
師生活動 教師與學生一起梳理,看看通過前面的分析都得到了哪些結論.
前面我們設了4個“元”和、和,它們分別代表中央長方形的長和寬 、上面邊襯寬度和左面邊襯寬度,它們之間存在如下的數量關系:
,.
教師引導學生發現,這就是一個以、為未知數的四元方程組,找到這個方程組中的a、b的值,“封面設計問題”就迎刃而解了.
【設計意圖】樹立方程意識,滲透方程思想.
問題5 請你解這個方程組,并與同學交流一下你的解法.
師生活動 學生獨立思考、解題,并與同學交流.教師請同學展示解法并進行點評.
學生可能的解法:
(1),(2),(3),(4).
方法一:由(1)、(2)求出x、y的值,分別代入(3)、(4)求出a、b的值.
說明1:在由(1)、(2)求、的過程中,可以依據,設簡化計算.
說明2:實際解題時,可以簡化“設元”部分,只設中央長方形的長和寬分別為 cm和cm,解方程求出的值,進而求出中央長方形的長和寬,再用算術方法就可求出上面邊襯寬度和左面邊襯寬度.
方法二:由(3)、(4)變形得,把(5)、(6)分別代入(1)、(2)可得關于、的二元方程組,解這個方程組求出、的值.
說明:把(5)、(6)代入(2)化簡可得,可以依據,設,把代入(5)、(6)得到,再把(7)、(8)代入(1)求出值,進而求出、的值.
【設計意圖】在體驗解法多樣性的基礎上,樹立優化意識,簡化計算,優化解題形式.
問題6 你求出的、的值都是實際問題的解嗎?
師生活動 教師提出問題,學生通過計算得出結論.
【設計意圖】與實際問題結合,檢驗數學問題的解是否為實際問題的解.
4.回顧反思
問題7 通過這節課,你對“封面設計問題”有什么新的認識,有何收獲和體會?
師生活動 請學生回顧“封面設計問題”的探究過程,回答以下問題:
(1)探究解題的過程大致包含哪幾個步驟?
(2)在 “封面設計問題”的探究過程中,你遇到了哪些困難,是如何解決的?
【設計意圖】更好地體會建模思想,理解建模的一般步驟和方法.
5.布置作業
教科書習題21.3第5,8,9題.
五、目標檢測設計
1.如圖,寬為50cm的矩形圖案由10個全等的小長方形拼成,則每個小長方形的面積為( ).
a. b. c. d.
【設計意圖】發現幾何圖形中隱蔽的相等關系.
2.(XX年,鎮江)學校為了美化校園環境,在一塊長40米、寬20米的長方形空地上計劃新建一塊長9米、寬7米的長方形花圃.