有理數的加法 —— 初中數學第一冊教案

【學習目標】

1.能說出有理數的加法法則，并能運用加法法則進行有理數的加法運算或能解決簡單的實際問題.

2.能運用加法的運算性質簡化加法運算.

3.知道有理數的加法運算律，并能運用加法運算律使加法計算簡便合理.

【主體知識歸納】

1.有理數的加法法則

(1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加.

(2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數的兩數相加得0.

(3)一個數與0相加，仍得這個數.

2.有理數的加法運算律

(1)交換律 兩數相加，交換加數的位置，和不變.

a＋b＝b＋a

(2)結合律 三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變.

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

【基礎知識講解】

1.有理數的加法法則，是進行有理數加法運算的依據，運算步驟如下：

(1)先確定和的符號；

(2)再確定和的絕對值.

2.運算規律是：同號的兩個數(或多個數)相加，符號不變，只把它們的絕對值相加即可.如(＋3)＋(＋4)＝＋(3＋4)＝＋7.(－3)＋(－4)＋(－13)＝－(3＋4＋13)＝－20.異號兩數相加，首先要確定和的符號.取兩數中絕對值較大的加數的符號，作為和的符號，用較大的絕對值減去較小的絕對值的差，作為和的絕對值.如(＋3)＋(－4)＝－(4－3)＝－1.

3.運用有理數加法的運算律，可以任意交換加數的位置.把交換律和結合律靈活運用，就可以把其中的幾個數結合起來先運算，使整個計算過程簡便而又不易出錯.

【例題精講】

例1 計算(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－32).

剖析：此小題逐個相加當然可以，但較麻煩.可以利用加法的交換律和結合律，正、負數分別結合，再相加.

解：(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－32)＝［(＋16)＋(＋24)］＋［(－25)＋(－32)］＝(＋40)＋(－57)＝－17.

說明：在進行三個以上的有理數的加法運算時，一般把正數和負數分別結合起來，再相加，計算較為簡便.若是在同一加法的算式里有相反數，要首先結合相反數.

例2 計算(－2.1)＋(＋3.75)＋(＋4)＋(－3.75)＋(＋5)＋(－4).

剖析：仔細觀察算式，發現(＋3.75)與(－3.75)，(＋4)與(－4)互為相反數，根據互為相反數的兩個數相加得零.

解：(－2.1)＋(3.75)＋(＋4)＋(－3.75)＋(＋5)＋(－4)＝［(－2.1)＋(＋5)］＋［(＋3.75)＋(－3.75)］＋［(＋4)＋(－4)］＝2.9＋0＋0＝2.9.

說明：計算時，若把相加得零的數結合起來，計算較為簡便.

例3 計算(－2.39)＋(＋3.57)＋(－7.61)＋(－1.57).

剖析：此題把正、負數分別結合，并非簡單算法.用“湊整法”，分別把(－2.39)與(－7.61)，(＋3.57)與(－1.57)相結合，較為簡便.

解：(－2.39)＋(3.57)＋(－7.61)＋(－1.57)＝［(－2.39)＋(－7.61)］＋［(＋3.57)＋(－1.57)］＝(－10)＋(＋2)＝－8.

說明：計算時，把能湊成整數的兩個或多個數相加，是常用的方法之一.

例4 計算(＋3 )＋(－5 )＋(－2 )＋(－32 ).

解：(＋3 )＋(－5 )＋(－2 )＋(－32 )＝［(＋3 )＋(－2 )］＋［(－5 )＋(－32 )］＝(＋1 )＋(－38)＝－36 .

說明：在含有分數的算式中，一般把分母相同的數結合在一起，計算較為簡便.

例5 計算下列各題：

(1)0.2＋(－5.4)＋(－0.6)＋(＋6)；        (2)(＋ )＋(＋ )＋(－ )＋(－ )；

(3)(＋3.15)＋(－2.64)＋(－6.31)＋(＋2.85)＋(－9.36).

剖析：(1)小題正數與正數、負數與負數分別結合，可使計算簡便；(2)小題前三個數結合相加為零；(3)小題第一個數與第四個數、第二個數與第五個數相結合湊為整數.

解：(1)0.2＋(－5.4)＋(－0.6)＋(＋6)＝［0.2＋(＋6)］＋［(－5.4)＋(－0.6)］＝6.2＋(－6)＝0.2

(2) (＋ )＋(＋ )＋(－ )＋(－ )＝［(＋ )＋(＋ )＋(－ )］＋(－ )＝0＋(－ )＝－ .

(3)(＋3.15)＋(－2.64)＋(－6.31)＋(＋2.85)＋(－9.36)

＝［(＋3.15)＋(＋2.85)］＋［(－2.64)＋(－9.36)］＋(－6.31)

＝－12.31.

說明：靈活地運用加法的運算律，可以使運算簡便、迅速且易于檢查.如在(1)小題中，把正數、負數分別結合；在第(2)小題中主要是把其和為零的數結合；在第(3)小題中，則是把和為整數的兩數結合在一起.因此，不同的題選擇的結合方法不盡相同，要根據題中數的特點決定.

例6 若|y－3|＋|2x－4|＝0，求3x＋y的值.

剖析：根據絕對值的性質可以得到|y－3|≥0，|2x－4|≥0，所以只有當y－3＝0且2x－4＝0時，|y－3|＋|2x－4|＝0才成立.由y－3＝0得y＝3，由2x－4＝0，得x＝2.則3x＋y易求.

解：∵|y－3|≥0，|2x－4|≥0，

又∵|y－3|＋|2x－4|＝0.

∴y－3＝0，y＝3 2x－4＝0，x＝2.

∴3x＋y＝3×2＋3＝9.

說明：此題利用了“任何一個有理數的絕對值都非負”這個性質.因為幾個非負數的和仍是非負數，所以當幾個非負數的和是零時，這幾個數全為零.

【同步達綱練習】

1.判斷題

(1)兩個數相加，如果和比每個數都小，那么這兩個數同為負數.

(2)如果兩個加數的和為正數，那么一定有一個加數為0.

(3)正數加負數，和為負數.

(4)兩個有理數的和為負數時，這兩個有理數都是負數.

(5)(－8)＋(＋3)＝＋(8－3)＝＋5.

(6)(－8)＋(－3)＝－(8＋3)＝－11.

(7)兩個有理數的和，一定大于任何一個加數.

(8)若a>0，b>0，則a＋b＝＋(|a|＋|b|).

(9)若a>0，b<0，則a＋b＝＋(|a|－|b|).

(10)若a<0，b<0，則a＋b＝－(|a|＋|b|).

2.填空題

(1)符號相同的有理數相加的法則是______；符號相異的兩個有理數相加的法則是_____.

(2)用字母表示加法的交換律和結合律分別為_______，_______.

(3)－5＋_______＝0；                        (4)－5＋_______＝5；

(5)－5＋_______＝－5；                  (6)－5＋_______＝－10；

(7)＋(＋13)＝ _______＋15；             (8)(－13)＋ _______＝－15；

(9) _______＋(＋2)＝＋11；              (10) _______＋(＋2)＝－11；

(11)(－4 )＋(＋8 )＝______3 ；      (12)(＋5 )＋(－7 )＝______2 .

(13)a>0，b<0，且|a|<|b|，則a＋b_______0.(填>，<，≥，≤).

(14)如果m>0，n>0，則m＋n_______0.

(15)如果m<0，n<0，則m＋n_______0.

(16)兩個加數的和是0，其中的一個加數為－3 ，則另一個加數為________.

(17)比－4.1大3的數是_________.

(18)一個有理數的絕對值的相反數一定________零.

(19)4m－6與2互為相反數，則－m＝___________.

(20)已知a、b為有理數，若|a＋ |＋(2b－5)²＝0，則a＝_________，b＝_________.

3.選擇題

(1)設a、b為兩個有理數，a＋b與a比較

A.a＋b>a

B.a＋b<a

C.a＋b不小于a

D.大小關系應考慮b是正數，b是負數和b是零三種情況

(2)如果不為零的兩個數的絕對值相等，那么下列說法錯誤的是

A.這兩個數必相等

B.這兩個數相等或互為相反數

C.當這兩個數同號時，A正確

D.當這兩個數異號時，這兩個數互為相反數

(3)若5<x<10，化簡|－x＋5|＋|－10＋x|的結果是

A.＋5

B.－5

C.15－2x

D.2x－15

(4)如果m<0，則|2m|等于

A.0

B.2m

C.－2m

D.以上答案都不對

4.進行下列運算，并分析各題運算過程：

(1)(＋8)＋(＋5)；                       (2)(－8)＋(－5)；

(3)(＋8)＋(－5)；                       (4)(－8)＋(＋5)；

(5)(－8)＋(＋8)；                       (6)(＋8)＋0；

(7)(－8)＋0；                           (8)(＋5 )＋(＋3 )；

(9)(－5 )＋(－3 )；                  (10)(＋5 )＋(－3 ).

5.用簡便方法計算：

(1)(－0.6)＋0.2＋(－11.4)＋0.8；

(2)(＋56)＋(－12)＋(＋11.3)＋(－7.4)＋(＋8.1)＋(－2.5)；

(3)(－4 )＋(－3 )＋(＋6 )＋(－2 )；

(4)(－0.5)＋(＋3 )＋(＋2.75)＋(－5 )；

(5)(＋0.25)＋(－3 )＋(－ )＋(－5 )；

(6)(－3.5)＋(－1.3)＋(＋3.5)＋(－0.5)＋(－8.7).

6.運河信用社辦理了五筆儲蓄業務，順序如下：取出5萬元，存進9.5萬元，取出3萬元，存進15萬元，存進80萬元.問這個信用社存款增加了多少萬元？

7.有理數a、b滿足a、b異號，a<b，且a＋b>0，則|a|_______|b|(用“>”或“<”填空).

8.若|x|－1|＝2，求x的值.

9.

10.若4|x－2|＋|y－3|＝0，求 的值.

【思路拓展題】

負數是數嗎？

“負數”是數嗎？對你現在來說，這已不是問題，而在人類的認識過程中卻經歷了漫長的時期.

數的起源.在遠古時候，人們天天用手拿東西，時間長了，有人便發現了一個秘密，一只手上有5個指頭，于是，1至5就這樣產生了.這個簡單的數“5”，卻是人類記數的第一次突破，是數學作為一門科學邁出的關鍵性的一步.又過了很長一段時間，有人把兩只手放在一起，卻發現竟是兩個“5”，這樣便產生了“10”.以后用兩只手加一只腳，又知道了“15”.這以后相當長的一段時間里，“20”便成了人們所能夠認識的最大的數.隨著生產的發展，20遠遠不夠用了.比如：牧羊人要把一群羊的數目點清，就必須想新的辦法.牧羊人就用石子代替羊.在清點牧羊的數目時，用一塊石子代替一只羊，每10只羊用一塊大石子代替.這樣30、40、50直至90便產生了.另外，古波斯王在戰爭中，還發明了結繩記數法.以后，隨著人們的認識水平的提高和生活、生產的需要，發明了百、千、萬、億……以至任何數目的記載方法.

在使用負數和它的運算方面，中國在世界上處于遙遙領先的地位——距今大約2000年以前，就已經認識了負數，規定了表示負數的方法，指出了負數在具有相反意義的量中的實際意義，并進一步在解方程中運用正負數的運算.

在國外，印度大約在公元七世紀才開始認識負數.在歐洲，直到十二、三世紀才有負數，但這時的西方數學家并不歡迎它，甚至許多人都說負數不是數.科學上的新發現往往會受到保守勢力的反抗.當負數概念傳到歐洲以后，新舊觀點之間引起了激烈的沖突.這場大辯論延續了幾百年，最后才逐漸取得比較一致的看法：負數和正數、零一樣，也是數.

在這場大辯論中有一段小插曲，頗能引起人們的深思：

一天，著名的數學家、物理學家帕斯卡(Pascal，1623～1662年)正和他的好友，神學家、數學家阿爾諾(Arnauld，1612～1694年)聊天，突然，阿爾諾說：從來都是較小的數∶較大的數＝較小的數∶較大的數，或較大的數∶較小的數＝較大的數∶較小的數.

現在，居然出現(－1)∶1＝1∶(－1)

這種“較小的數∶較大的數＝較大的數∶較小的數”這類怪現象了！

阿爾諾的話當然引起人們的濃厚興趣，甚至一部分人的疑慮——承認負數是數，你就得承認“小數∶大數＝大數∶小數”這種怪現象.

其實，當數的范圍擴大以后，原有的數學現象，有一些被保留下來，也有一些現象不被保留下來.數的范圍從正整數、正分數擴大到有理數，“大數比小數一定等于大數比小數”這一數學現象就不被保留下來.這種情況，當你學習了更多的數學知識、數的范圍進一步擴大時，還會碰到.

參考答案

【同步達綱練習】

1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)√ (9)× (10)√

2.(1)取原來加數的符號，并把絕對值相加 取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值

(2)a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

(3)5 (4)10 (5)0 (6)(－5) (7)2 (8)(－2)

(9)9 (10)(－13) (11)＋ (12)－ (13)<

(14)> (15)< (16)＋3 (17)－1.1

(18)不大于 (19)－1 (20)－

3.(1)D (2)B (3)A (4)C

4.(1)＋13 兩個正數相加；

(2)－13 兩個負數相加；

(3)＋3 絕對值不等的兩數相加；

(4)－3 絕對值不等的兩數相加；

(5)0 互為相反的兩數相加；

(6)＋8 一個數同0相加；

(7)－8 一個數同0相加

(8)9 兩個正分數相加；

(9)－9 兩個負分數相加；

(10)2 兩個絕對值不等的分數相加.

5.(1)－11 (2)53.5 (3)－4 (4)0 (5)－8 (6)－9.5

6.93.5萬元 7.< 8.±3 9.－2003 10.

【學習目標】

1.能說出有理數的加法法則，并能運用加法法則進行有理數的加法運算或能解決簡單的實際問題.

2.能運用加法的運算性質簡化加法運算.

3.知道有理數的加法運算律，并能運用加法運算律使加法計算簡便合理.

【主體知識歸納】

1.有理數的加法法則

(1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加.

(2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數的兩數相加得0.

(3)一個數與0相加，仍得這個數.

2.有理數的加法運算律

(1)交換律 兩數相加，交換加數的位置，和不變.

a＋b＝b＋a

(2)結合律 三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變.

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

【基礎知識講解】

1.有理數的加法法則，是進行有理數加法運算的依據，運算步驟如下：

(1)先確定和的符號；

(2)再確定和的絕對值.

2.運算規律是：同號的兩個數(或多個數)相加，符號不變，只把它們的絕對值相加即可.如(＋3)＋(＋4)＝＋(3＋4)＝＋7.(－3)＋(－4)＋(－13)＝－(3＋4＋13)＝－20.異號兩數相加，首先要確定和的符號.取兩數中絕對值較大的加數的符號，作為和的符號，用較大的絕對值減去較小的絕對值的差，作為和的絕對值.如(＋3)＋(－4)＝－(4－3)＝－1.

3.運用有理數加法的運算律，可以任意交換加數的位置.把交換律和結合律靈活運用，就可以把其中的幾個數結合起來先運算，使整個計算過程簡便而又不易出錯.

【例題精講】

例1 計算(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－32).

剖析：此小題逐個相加當然可以，但較麻煩.可以利用加法的交換律和結合律，正、負數分別結合，再相加.

解：(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－32)＝［(＋16)＋(＋24)］＋［(－25)＋(－32)］＝(＋40)＋(－57)＝－17.

說明：在進行三個以上的有理數的加法運算時，一般把正數和負數分別結合起來，再相加，計算較為簡便.若是在同一加法的算式里有相反數，要首先結合相反數.

例2 計算(－2.1)＋(＋3.75)＋(＋4)＋(－3.75)＋(＋5)＋(－4).

剖析：仔細觀察算式，發現(＋3.75)與(－3.75)，(＋4)與(－4)互為相反數，根據互為相反數的兩個數相加得零.

解：(－2.1)＋(3.75)＋(＋4)＋(－3.75)＋(＋5)＋(－4)＝［(－2.1)＋(＋5)］＋［(＋3.75)＋(－3.75)］＋［(＋4)＋(－4)］＝2.9＋0＋0＝2.9.

說明：計算時，若把相加得零的數結合起來，計算較為簡便.

例3 計算(－2.39)＋(＋3.57)＋(－7.61)＋(－1.57).

剖析：此題把正、負數分別結合，并非簡單算法.用“湊整法”，分別把(－2.39)與(－7.61)，(＋3.57)與(－1.57)相結合，較為簡便.

解：(－2.39)＋(3.57)＋(－7.61)＋(－1.57)＝［(－2.39)＋(－7.61)］＋［(＋3.57)＋(－1.57)］＝(－10)＋(＋2)＝－8.

說明：計算時，把能湊成整數的兩個或多個數相加，是常用的方法之一.

例4 計算(＋3 )＋(－5 )＋(－2 )＋(－32 ).

解：(＋3 )＋(－5 )＋(－2 )＋(－32 )＝［(＋3 )＋(－2 )］＋［(－5 )＋(－32 )］＝(＋1 )＋(－38)＝－36 .

說明：在含有分數的算式中，一般把分母相同的數結合在一起，計算較為簡便.

例5 計算下列各題：

(1)0.2＋(－5.4)＋(－0.6)＋(＋6)；        (2)(＋ )＋(＋ )＋(－ )＋(－ )；

(3)(＋3.15)＋(－2.64)＋(－6.31)＋(＋2.85)＋(－9.36).

剖析：(1)小題正數與正數、負數與負數分別結合，可使計算簡便；(2)小題前三個數結合相加為零；(3)小題第一個數與第四個數、第二個數與第五個數相結合湊為整數.

解：(1)0.2＋(－5.4)＋(－0.6)＋(＋6)＝［0.2＋(＋6)］＋［(－5.4)＋(－0.6)］＝6.2＋(－6)＝0.2

(2) (＋ )＋(＋ )＋(－ )＋(－ )＝［(＋ )＋(＋ )＋(－ )］＋(－ )＝0＋(－ )＝－ .

(3)(＋3.15)＋(－2.64)＋(－6.31)＋(＋2.85)＋(－9.36)

＝［(＋3.15)＋(＋2.85)］＋［(－2.64)＋(－9.36)］＋(－6.31)

＝－12.31.

說明：靈活地運用加法的運算律，可以使運算簡便、迅速且易于檢查.如在(1)小題中，把正數、負數分別結合；在第(2)小題中主要是把其和為零的數結合；在第(3)小題中，則是把和為整數的兩數結合在一起.因此，不同的題選擇的結合方法不盡相同，要根據題中數的特點決定.

例6 若|y－3|＋|2x－4|＝0，求3x＋y的值.

剖析：根據絕對值的性質可以得到|y－3|≥0，|2x－4|≥0，所以只有當y－3＝0且2x－4＝0時，|y－3|＋|2x－4|＝0才成立.由y－3＝0得y＝3，由2x－4＝0，得x＝2.則3x＋y易求.

解：∵|y－3|≥0，|2x－4|≥0，

又∵|y－3|＋|2x－4|＝0.

∴y－3＝0，y＝3 2x－4＝0，x＝2.

∴3x＋y＝3×2＋3＝9.

說明：此題利用了“任何一個有理數的絕對值都非負”這個性質.因為幾個非負數的和仍是非負數，所以當幾個非負數的和是零時，這幾個數全為零.

【同步達綱練習】

1.判斷題

(1)兩個數相加，如果和比每個數都小，那么這兩個數同為負數.

(2)如果兩個加數的和為正數，那么一定有一個加數為0.

(3)正數加負數，和為負數.

(4)兩個有理數的和為負數時，這兩個有理數都是負數.

(5)(－8)＋(＋3)＝＋(8－3)＝＋5.

(6)(－8)＋(－3)＝－(8＋3)＝－11.

(7)兩個有理數的和，一定大于任何一個加數.

(8)若a>0，b>0，則a＋b＝＋(|a|＋|b|).

(9)若a>0，b<0，則a＋b＝＋(|a|－|b|).

(10)若a<0，b<0，則a＋b＝－(|a|＋|b|).

2.填空題

(1)符號相同的有理數相加的法則是______；符號相異的兩個有理數相加的法則是_____.

(2)用字母表示加法的交換律和結合律分別為_______，_______.

(3)－5＋_______＝0；                        (4)－5＋_______＝5；

(5)－5＋_______＝－5；                  (6)－5＋_______＝－10；

(7)＋(＋13)＝ _______＋15；             (8)(－13)＋ _______＝－15；

(9) _______＋(＋2)＝＋11；              (10) _______＋(＋2)＝－11；

(11)(－4 )＋(＋8 )＝______3 ；      (12)(＋5 )＋(－7 )＝______2 .

(13)a>0，b<0，且|a|<|b|，則a＋b_______0.(填>，<，≥，≤).

(14)如果m>0，n>0，則m＋n_______0.

(15)如果m<0，n<0，則m＋n_______0.

(16)兩個加數的和是0，其中的一個加數為－3 ，則另一個加數為________.

(17)比－4.1大3的數是_________.

(18)一個有理數的絕對值的相反數一定________零.

(19)4m－6與2互為相反數，則－m＝___________.

(20)已知a、b為有理數，若|a＋ |＋(2b－5)²＝0，則a＝_________，b＝_________.

3.選擇題

(1)設a、b為兩個有理數，a＋b與a比較

A.a＋b>a

B.a＋b<a

C.a＋b不小于a

D.大小關系應考慮b是正數，b是負數和b是零三種情況

(2)如果不為零的兩個數的絕對值相等，那么下列說法錯誤的是

A.這兩個數必相等

B.這兩個數相等或互為相反數

C.當這兩個數同號時，A正確

D.當這兩個數異號時，這兩個數互為相反數

(3)若5<x<10，化簡|－x＋5|＋|－10＋x|的結果是

A.＋5

B.－5

C.15－2x

D.2x－15

(4)如果m<0，則|2m|等于

A.0

B.2m

C.－2m

D.以上答案都不對

4.進行下列運算，并分析各題運算過程：

(1)(＋8)＋(＋5)；                       (2)(－8)＋(－5)；

(3)(＋8)＋(－5)；                       (4)(－8)＋(＋5)；

(5)(－8)＋(＋8)；                       (6)(＋8)＋0；

(7)(－8)＋0；                           (8)(＋5 )＋(＋3 )；

(9)(－5 )＋(－3 )；                  (10)(＋5 )＋(－3 ).

5.用簡便方法計算：

(1)(－0.6)＋0.2＋(－11.4)＋0.8；

(2)(＋56)＋(－12)＋(＋11.3)＋(－7.4)＋(＋8.1)＋(－2.5)；

(3)(－4 )＋(－3 )＋(＋6 )＋(－2 )；

(4)(－0.5)＋(＋3 )＋(＋2.75)＋(－5 )；

(5)(＋0.25)＋(－3 )＋(－ )＋(－5 )；

(6)(－3.5)＋(－1.3)＋(＋3.5)＋(－0.5)＋(－8.7).

6.運河信用社辦理了五筆儲蓄業務，順序如下：取出5萬元，存進9.5萬元，取出3萬元，存進15萬元，存進80萬元.問這個信用社存款增加了多少萬元？

7.有理數a、b滿足a、b異號，a<b，且a＋b>0，則|a|_______|b|(用“>”或“<”填空).

8.若|x|－1|＝2，求x的值.

9.

10.若4|x－2|＋|y－3|＝0，求 的值.

【思路拓展題】

負數是數嗎？

“負數”是數嗎？對你現在來說，這已不是問題，而在人類的認識過程中卻經歷了漫長的時期.

數的起源.在遠古時候，人們天天用手拿東西，時間長了，有人便發現了一個秘密，一只手上有5個指頭，于是，1至5就這樣產生了.這個簡單的數“5”，卻是人類記數的第一次突破，是數學作為一門科學邁出的關鍵性的一步.又過了很長一段時間，有人把兩只手放在一起，卻發現竟是兩個“5”，這樣便產生了“10”.以后用兩只手加一只腳，又知道了“15”.這以后相當長的一段時間里，“20”便成了人們所能夠認識的最大的數.隨著生產的發展，20遠遠不夠用了.比如：牧羊人要把一群羊的數目點清，就必須想新的辦法.牧羊人就用石子代替羊.在清點牧羊的數目時，用一塊石子代替一只羊，每10只羊用一塊大石子代替.這樣30、40、50直至90便產生了.另外，古波斯王在戰爭中，還發明了結繩記數法.以后，隨著人們的認識水平的提高和生活、生產的需要，發明了百、千、萬、億……以至任何數目的記載方法.

在使用負數和它的運算方面，中國在世界上處于遙遙領先的地位——距今大約2000年以前，就已經認識了負數，規定了表示負數的方法，指出了負數在具有相反意義的量中的實際意義，并進一步在解方程中運用正負數的運算.

在國外，印度大約在公元七世紀才開始認識負數.在歐洲，直到十二、三世紀才有負數，但這時的西方數學家并不歡迎它，甚至許多人都說負數不是數.科學上的新發現往往會受到保守勢力的反抗.當負數概念傳到歐洲以后，新舊觀點之間引起了激烈的沖突.這場大辯論延續了幾百年，最后才逐漸取得比較一致的看法：負數和正數、零一樣，也是數.

在這場大辯論中有一段小插曲，頗能引起人們的深思：

一天，著名的數學家、物理學家帕斯卡(Pascal，1623～1662年)正和他的好友，神學家、數學家阿爾諾(Arnauld，1612～1694年)聊天，突然，阿爾諾說：從來都是較小的數∶較大的數＝較小的數∶較大的數，或較大的數∶較小的數＝較大的數∶較小的數.

現在，居然出現(－1)∶1＝1∶(－1)

這種“較小的數∶較大的數＝較大的數∶較小的數”這類怪現象了！

阿爾諾的話當然引起人們的濃厚興趣，甚至一部分人的疑慮——承認負數是數，你就得承認“小數∶大數＝大數∶小數”這種怪現象.

其實，當數的范圍擴大以后，原有的數學現象，有一些被保留下來，也有一些現象不被保留下來.數的范圍從正整數、正分數擴大到有理數，“大數比小數一定等于大數比小數”這一數學現象就不被保留下來.這種情況，當你學習了更多的數學知識、數的范圍進一步擴大時，還會碰到.

參考答案

【同步達綱練習】

1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)√ (9)× (10)√

2.(1)取原來加數的符號，并把絕對值相加 取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值

(2)a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

(3)5 (4)10 (5)0 (6)(－5) (7)2 (8)(－2)

(9)9 (10)(－13) (11)＋ (12)－ (13)<

(14)> (15)< (16)＋3 (17)－1.1

(18)不大于 (19)－1 (20)－

3.(1)D (2)B (3)A (4)C

4.(1)＋13 兩個正數相加；

(2)－13 兩個負數相加；

(3)＋3 絕對值不等的兩數相加；

(4)－3 絕對值不等的兩數相加；

(5)0 互為相反的兩數相加；

(6)＋8 一個數同0相加；

(7)－8 一個數同0相加

(8)9 兩個正分數相加；

(9)－9 兩個負分數相加；

(10)2 兩個絕對值不等的分數相加.

5.(1)－11 (2)53.5 (3)－4 (4)0 (5)－8 (6)－9.5

6.93.5萬元 7.< 8.±3 9.－2003 10.