函 數 對 稱 性 的 探 究
③函數y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱。定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③ 設點p(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點p( x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為p‘（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點p‘（x1， y1）在函數x－a = f (y + a)的圖像上。同理可證：函數x－a = f (y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。推論：函數y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。三、 三角函數圖像的對稱性列表函 數
對稱中心坐標
對稱軸方程
y = sin x
( kπ, 0 )
x = kπ+π/2
y = cos x
( kπ+π/2 ,0 )
x = kπ
y = tan x
(kπ/2 ,0 )
無注：①上表中k∈z②y = tan x的所有對稱中心坐標應該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊（下）及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案（修訂版）中都認為y = tan x的所有對稱中心坐標是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。四、 函數對稱性應用舉例例1：定義在r上的非常數函數滿足：f (10+x)為偶函數，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ） （第十二屆希望杯高二 第二試題）(a)是偶函數，也是周期函數 (b)是偶函數，但不是周期函數 (c)是奇函數，也是周期函數 (d)是奇函數，但不是周期函數解：∵f (10+x)為偶函數，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。故選(a) 例2：設定義域為r的函數y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （a） 1999； （b）； （c）；（d）。 解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，∴y = g-1(x－2) 反函數是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=故f(4) = ,應選（c）例3.設f(x)是定義在r上的偶函數，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，f (x) = － x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）解：∵f(x)是定義在r上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸；又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3例4.函數 y = sin (2x + )的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）(92全國高考理) (a) x = － (b) x = － (c) x = (d) x =