§14．3．2.1 等邊三角形（三）
§14.3.2.1 等邊三角形（三）
教學過程
一、 復習等腰三角形的判定與性質
二、 新授：
1.等邊三角形的性質：三邊相等；三角都是60°；三邊上的中線、高、角平分線相等
2.等邊三角形的判定：
三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
注意：推論1是判定一個三角形為等邊三角形的一個重要方法.推論2說明在等腰三角形中，只要有一個角是600，不論這個角是頂角還是底角，就可以判定這個三角形是等邊三角形。推論3反映的是直角三角形中邊與角之間的關系.
3.由學生解答課本148頁的例子；
4.補充：已知如圖所示, 在△abc中, bd是ac邊上的中線, db⊥bc于b,
∠abc=120o, 求證: ab=2bc
分析 由已知條件可得∠abd=30o, 如能構造有一個銳角是30o的直角三角形, 斜邊是ab,30o角所對的邊是與bc相等的線段,問題就得到解決了.
b
證明: 過a作ae∥bc交bd的延長線于e
∵db⊥bc(已知)
∴∠aed=90o (兩直線平行內錯角相等)
在△ade和△cdb中
∴△ade≌△cdb(aas)
∴ae=cb(全等三角形的對應邊相等)
∵∠abc=120o,db⊥bc(已知)
∴∠abd=30o
在rt△abe中,∠abd=30o
∴ae= ab(在直角三角形中,如果一個銳角等于30o,
那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)
∴bc= ab 即ab=2bc
點評 本題還可過c作ce∥ab
5、訓練：如圖所示,在等邊△abc的邊的延長線上取一點e,以ce為邊作等邊△cde,使它與△abc位于直線ae的同一側,點m為線段ad的中點,點n為線段be的中點,求證:△cnm是等邊三角形.
分析 由已知易證明△adc≌△bec,得be=ad,∠ebc=∠dae,而m、n分別為be、ad的中點，于是有bn=am，要證明△cnm是等邊三角形，只須證mc=cn，∠mcn=60o，所以要證△nbc≌△mac，由上述已推出的結論，根據邊角邊公里，可證得△nbc≌△mac
證明：∵等邊△abc和等邊△dce，
∴bc=ac，cd=ce，（等邊三角形的邊相等）
∠bca=∠dce=60o（等邊三角形的每個角都是60）
∴∠bce=∠dca
∴△bce≌△acd（sas）
∴∠ebc=∠dac（全等三角形的對應角相等）
be=ad（全等三角形的對應邊相等）
又∵bn= be，am= ad（中點定義）
∴bn=am
∴△nbc≌△mac（sas）
∴cm=cn（全等三角形的對應邊相等）
∠acm=∠bcn（全等三角形的對應角相等）
∴∠mcn=∠acb=60o
∴△mcn為等邊三角形（有一個角等于60o的等腰三角形是等邊三角形）
解題小結
1.本題通過將分析法和綜合法并用進行分析,得到了本題的證題思路,較復雜的幾何問題經常用這種方法進行分析
2.本題反復利用等邊三角形的性質,證得了兩對三角形全等,從而證得△mcn是一個含60o角的等腰三角形,在較復雜的圖形中,如何準確地找到所需要的全等三角形是證題的關鍵.
三、小結本節知識
四、作業：課本151頁第13，14題