第五單元《正比例和反比例》教材分析

本單元在學生具有比和比例的知識，認識常見數量關系的基礎上編排，通過對兩個數量保持商一定或積一定的變化，理解正比例關系和反比例關系，滲透初步的函數思想。正比例和反比例歷來是小學數學里的重要內容之一，與過去的教材相比，本單元進一步加強正、反比例的概念教學，突出正比例關系的圖像及簡單應用，重視正、反比例與現實生活的聯系，淡化脫離現實背景判斷比例關系，不安排應用正、反比例關系解決實際問題。全單元編排三道例題和一個練習，前兩道例題都是關于正比例的，分別教學正比例的意義和圖像，后一道例題教學反比例的知識。1.抽象實際事例中的數量變化規律，形成正比例的概念。例1讓學生初步感知“兩種相關聯的量”以及“成正比例的量”的含義。列表呈現了一輛汽車行駛的路程和時間，通過寫出幾組對應的路程和時間的比并求比值，發現各個比的比值都是80，理解80是這輛汽車每小時行駛的千米數，由此得出數量關系路程/時間=速度（一定）。在數量關系中，路程比時間等于速度是舊知識，速度“一定”是這個問題情境里的規律，是正比例概念的生長點。教材先指出路程和時間是兩種相關聯的量，用“時間變化，路程也隨著變化”具體解釋兩種量的“相關聯”。再指出這輛汽車行駛的路程和時間的比的比值總是一定，可以說路程和時間成正比例，它們是成正比例的量，學生在這里首次感知了正比例關系。“試一試”在另一組數量關系中繼續感知正比例關系，購買鉛筆數量和總價的表格里有三個空格，先計算買4枝、5枝、6枝這種鉛筆的總價，讓學生體會鉛筆的單價每枝0.3元是不變的，總價是隨著數量變化而變化的，總價與數量是兩種相關聯的量。然后依次回答其他三個問題，得出“鉛筆總價和數量成正比例”的結論，并用式子總價/數量=單價（一定）作出解釋。“試一試”的認知線索與例1相似，留給學生自主活動的空間比例1大，使學生對正比例關系的體驗更深刻。學生在上面兩個實例中感知了正比例的具體含義，教材第63頁要形成正比例的概念。抽象概括正比例的意義是概念形成的重要環節，也是發展數學思考的極好機會。首先用字母表示數量，每個實例里都有兩個相關聯的量，分別是路程和時間或者總價與數量，兩個量的比的比值分別是速度和單價，因而用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值；然后把路程/時間=速度（一定）、總價/數量=單價（一定）表示成y/x=k（一定），并指出正比例關系可以用這個字母式子表示。用抽象的字母組成的式子表示正比例關系是認知難點，教學要聯系兩個實例，引導學生經歷“字母表示具體的數量�鲎帜甘阶颖硎境Ｒ姅盗筷P系�鲎帜甘阶颖硎菊�比例關系”的過程，加強對式子y/x=k（一定）的理解。“練一練”判斷生產零件的數量和時間成不成正比例，是把正比例概念具體化，利用概念進行演繹推理。具體地說，是分析這個情境里的生產零件數量和所用時間的比的比值是否始終保持一定，如果具備y/x=k（一定）這種關系，兩種相關聯的量成正比例，否則就不成正比例。學生在第62頁“試一試”里已經進行過這樣的分析和判斷，那時是依據連續的四個問題進行的，現在要求他們獨立開展有條理的推理活動，進一步理解正比例的意義，掌握判斷兩種量成不成正比例的方法。練習十三第1~3題配合例1的教學，第3題判斷正方形的周長與邊長、面積與邊長成不成正比例�？梢愿鶕�表格里填的數據進行推理，因為周長與邊長的比4/1、8/2、12/3、16/4的比值都是4，面積與邊長的比1/1、4/2、9/3、16/4的比值不相等，所以正方形的周長與邊長成正比例，面積與邊長不成正比例。也可以根據正方形的周長公式和面積公式推理，從“邊長×4=周長”可以得到周長與邊長的比的比值是確定的數4，即周長/邊長=4（一定），所以正方形的周長與邊長成正比例。從“邊長×邊長=面積”可以知道，面積雖然隨著邊長的變化而變化，但是面積與邊長的比的比值是變化的量，即面積/邊長=邊長，所以正方形的面積與邊長不成正比例。前一種思考對問題進行具體的分析，適宜大多數學生的實際水平，也符合《標準》的要求。后一種思考沒有利用數據信息，推理的難度較大，不必對學生提出這樣的要求。教材設計這道題的意圖是進一步使學生理解正比例的意義，突出正比例概念的內涵：兩種相關聯量的比的比值保持一定。2.用圖像直觀表達正比例關系。例2是按照《標準》的要求“根據給出的有正比例關系的數據在有坐標系的方格紙上畫圖，并根據其中一個量的值估計另一個量的值”編排的，設計的三個問題體現了教學正比例圖像的三個步驟。第一步認識圖像上的點，按照“a點表示1小時行80千米”“b點表示5小時行400千米”說出其他各點的具體含義，體會各個點都表示汽車在某段時間所行駛的路程，也體會這些點是根據對應的時間與路程的數據在方格紙上畫出來的。第二步認識圖像的形狀，從圖中描出的點在一條直線上，體會正比例關系的圖像是一條直線。了解正比例圖像是直線對以后畫圖能起兩點作用：一是畫正比例關系的圖像（如第64頁“練一練”），可以根據提供的各組數據描出圖像的許多個點，再依次連成直線；二是如果按正比例關系畫出的點不在同一條直線上，表明畫點出現了錯誤，應及時糾正。第三步應用圖像，估計行駛時間所對應的路程或者行駛路程所用的時間。要指導學生利用畫垂線或畫平行線的技能，盡量使得數準確些。如估計2.5小時行駛的千米數，要在橫軸上找到表示2.5小時的點，過這點畫橫軸的垂線，得到垂線與圖像的交點，再過交點作縱軸的垂線，根據垂足在縱軸上的位置估計行駛的路程。練習十三第4、5題配合例2的教學。判斷實際問題里相關聯的兩種量成不成正比例有兩種思路，一種是看畫成的圖像，如果圖像是一條直線，那么兩種量成正比例；如果圖像不是一條直線，那么兩種量不成正比例。另一種是根據正比例的意義，利用各組對應的數據寫出比、求比值，從比值是否相等作出成不成正比例的判斷。教學時要引導學生應用后一種思路，在判斷活動中加強對概念的理解。3.調動學生的積極性與數學活動經驗，教學成反比例的量。例3教學反比例的意義，安排的教學活動線索和例1十分相似。在表格里可以看到筆記本的單價在變化，購買的數量也在變化，而且每組相對應的單價和數量的乘積都是60，這不僅是算得的，還和題目里的“用60元買筆記本”相一致，因此用數量關系式“單價×數量=總價（一定）”表示這個問題情境里兩個變量的變化規律。在此基礎上指出單價和數量是兩種相關聯的量，它們成反比例，是兩個成反比例的量�！霸囈辉嚒毕劝驯砀裉顚懲暾�，在填表時體會工地要運的72噸水泥是確定的。然后思考三個問題，抓住每天運的噸數與需要的天數的乘積是多少，乘積表示什么數量以及問題情境的數量關系式，從每天運的噸數×天數=運水泥的總噸數（一定），理解每天運的噸數和需要的天數成反比例。通過上面四個實例的研究，學生初步感知了反比例的含義，于是用字母x、y表示兩種相關聯的量，用k表示兩個量的乘積，把反比例關系表示成y=k（一定），形成反比例的概念。學生認識正比例意義時的數學活動經驗可以遷移到反比例意義的學習中來，教學時要給學生多提供一些獨立思考和合作交流的機會。如讓學生觀察例3的表格、填寫“試一試”的表格，發現表格里的變量，解釋兩個變量的“相關聯”；讓學生聯系已有的數量關系，研究總價與數量、每天運的噸數與需要的天數的變化，通過計算發現總價總是60元，一共運水泥的噸數總是72；讓學生寫出單價、數量和總價，每天運的噸數、需要的天數和運水泥總數的數量關系式，說說總價一定、運水泥的總噸數一定的理由；讓學生閱讀教材第65頁關于單價和數量成反比例的那段話，交流自己的理解和體會；讓學生試著用字母x、y、k表示反比例關系……練習十三第6~8題配合例3的教學，重溫認識反比例的過程，應用概念進行判斷，從而加強對反比例的理解。第8題在方格紙上分別呈現了三個面積都是12平方厘米的長方形、三個周長都是14厘米的長方形，看圖在表格里填出各個長方形的長與寬。前三個長方形的長乘寬分別是12×1=12、6×2=12、4×3=12，即長×寬=面積（一定），得到的結論是長方形的面積一定，長與寬成反比例。后三個長方形的長乘寬分別是6×1=6、5×2=10、4×3=12，這些周長相等的長方形，長與寬的乘積不相等，所以長方形的周長一定，長與寬不成反比例。教學這道題要讓學生經歷得出結論的過程，強化對反比例概念的理解。第9~13題是綜合練習，練習內容包括成正比例的量與成反比例的量的比較，成比例的量與不成比例的量的比較，比例尺與正比例關系，還要尋找生活中成正比例的量或成反比例的量的實例。編排這些練習，要通過比較與判斷進一步使學生清晰地理解概念，掌握成正、反比例的量的變化規律；要聯系正比例的概念體會比例尺的意義，形成新的認知結構；要體驗生活中經�？吹匠烧�比例的量與成反比例的量，培養數學意識。