《質數和合數》教學案例
“他都知道質數和合數了,一定是課前作了很好的預習,預習也是搞好學習的重要環節。”我邊板書“質數”、“合數”,邊表揚生⑤,“那么質數和合數到底‘長得’是什么樣的呢?我們繼續研究。”此時,由師生共同直接從質數和合數的概念入手,再次深入研究其約數個數的不同特征。
【片斷三】
“前面,我們按照一個數是否能被2整除可以把自然數分為兩類,奇數和偶數。今天我們能否重新給自然數分類呢?”說著,我在黑板上板書了“自然數”三個字,并在下面畫了一個橢圓。
生①:“可以分為質數和合數兩類。”
生②:“不對,還要再加上‘1’才行!”
生③:“我也同意把自然數分為三類,就是‘1’、‘質數’和‘合數’。”
她把“1”畫在一個小小的圈里(上圖①),“為什么把‘1’畫在這個小小的圈里呢?”我不解地問。
“因為只有‘1’!”她更不解地看著我。
“你覺得‘1’只有一個,是嗎?”
女孩點點頭。
“‘1’雖然這一類只有一個,可它也是一類啊,對不對?是一類就應該享有平等的‘權利’,是嗎?”我問大家。
“是的。”全體同學作答。
“那我們可以這樣來表示嗎?”(如圖②)。
“可以。”
“那你們再來猜猜看,在非零自然數中是質數多還是合數多?”
“因為質數和合數都有無限多個,所以應該畫一樣的。”
【片斷四】
在讓學生動手制作100以內的質數表時,我先讓學生說出自己的制作步驟,然后才動手制作,等制作完成時,我問:“我們在把2、3、5、7的倍數劃去后,還要不要繼續劃去8的倍數、9的倍數、10的倍數……?”
生①:“不需要再繼續劃去8的倍數了,在前面劃去2的倍數時,已經把8的倍數都劃去,因為一個數如果是8的倍數,它肯定也是2的倍數。”
生②:“同樣道理,也不需要再繼續劃去10的倍數了。”
“那9的倍數呢?”我接著問。
生③:“也不需要再繼續劃去9的倍數了,在前面劃去3的倍數時,已經把9的倍數都劃去,因為一個數如果是9的倍數,它肯定也是3的倍數。”
“對,是這樣的。那么我們在制作100以內的質數表時,當7的倍數劃完后,一直要劃到哪個數的倍數為止呢?”
生④:“就到7的倍數劃完后就可以了,因為7后面的一個質數是11,11乘11是121,121都超過100了,所以到7的倍數劃完后剩下的數就都是質數了。”
【思考】
上述四個片斷的處理,我認為基本上突破了《質數和合數》這一課時的關鍵和難點,實現了使學生理解和掌握質數和合數的意義這一目標,同時在這個過程中也實現了對學生滲透某些數學思想的任務,如集合的思想、分類的思想、極限的思想等等。
①片斷一是課前談話,看似普通,實則用意深刻,因為這是片斷二的鋪墊之作,沒有片斷一的伏筆,就不會有片斷二中對1~12這12個數的分類的深刻和有意義。因為片斷二中對12個數的分類是充分的,所以學生對于質數和合數的概念的形成也是牢固的,有意義的,可建構的,有“原形”的。實則上對于質數和合數的區分,是基于對這個數的約數的個數的區分的,而這個對約數個數的分類的歷程又是豐富的,是源自學生已有認知基礎的,從已有認知到質數概念的建立,這也是一個思維的節點,必要的、充分的對于約數個數的分類則是有效激活這一節點的重要環節。