15.3 乘法公式
=XX2-1 =4000000-1 =3999999. (2)998×1002=(1000-2)(1000+2) =10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2 =10002-22 =1000000-4 =1999996. [師]×1999=XX2-12 998×1002=10002-22 它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差,那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢?我們繼續(xù)進(jìn)行探索. ⅱ.導(dǎo)入新課 [師]出示投影片 計(jì)算下列多項(xiàng)式的積. (1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2) (3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y) 觀察上述算式,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?運(yùn)算出結(jié)果后,你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn). (學(xué)生討論,教師引導(dǎo)) [生甲]上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng). [生乙]我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如算式(1)是x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(2)是m與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(3)是2x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(4)是x與5y這兩個(gè)數(shù)的和與差的積. [師]這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要,請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一下,相信你還會(huì)有更大的發(fā)現(xiàn). [生]解:(1)(x+1)(x-1) =x2+x-x-1=x2-12 (2)(m+2)(m-2) =m2+2m-2m-2×2=m2-22 (3)(2x+1)(2x-1) =(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12 (4)(x+5y)(x-5y) =x2+5y•x-x•5y-(5y)2 =x2-(5y)2[生]從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn): 也就是說,兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差,這和我們前面的簡便運(yùn)算得出的是同一結(jié)果. [師]能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)? [生]能.例如:51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12. 即(50+1)(50-1)=502-12. (-a+b)(-a-b)=(-a)•(-a)+(-a)•(-b)+b•(-a)+b•(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 這同樣可以驗(yàn)證:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. [師]為什么會(huì)是這樣的呢? [生]因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開后,中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng),且系數(shù)互為相反數(shù),所以和為零,只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了. [師]很好.請(qǐng)用一般形式表示上述規(guī)律,并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明.