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球的體積和表面積

球的體積和表面積

課    型:新授課
一. 教學目標
1.知識與技能
⑴通過對球的體積和面積公式的推導,了解推導過程中所用的基本數學思想方法:“分割——求和——化為準確和”,有利于同學們進一步學習微積分和近代數學知識。
⑵能運用球的面積和體積公式靈活解決實際問題。
⑶培養學生的空間思維能力和空間想象能力。
2.過程與方法
通過球的體積和面積公式的推導,從而得到一種推導球體積公式v= πr3和面積公式s=4πr2的方法,即“分割求近似值,再由近似和轉化為球的體積和面積”的方法,體現了極限思想。
3.情感與價值觀
通過學習,使我們對球的體積和面積公式的推導方法有了一定的了解,提高了空間思維能力和空間想象能力,增強了我們探索問題和解決問題的信心。
二. 教學重點、難點
重點:引導學生了解推導球的體積和面積公式所運用的基本思想方法。
難點:推導體積和面積公式中空間想象能力的形成。
三. 學法和教學用具
1. 學法:學生通過閱讀教材,發揮空間想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和轉化為球的體積和面積”的解題方法和步驟。
2. 教學用具:多媒體課件 
四. 教學設計
(一) 創設情景
⑴教師提出問題:球既沒有底面,也無法像在柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形,那么怎樣來求球的表面積與體積呢?引導學生進行思考。
⑵教師設疑:球的大小是與球的半徑有關,如何用球半徑來表示球的體積和面積?激發學生推導球的體積和面積公式。
(二) 探究新知
1.球的體積:
如果用一組等距離的平面去切割球,當距離很小之時得到很多“小圓片”,“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積,由于“小圓片”近似于圓柱形狀,所以它的體積也近似于圓柱形狀,所以它的體積有也近似于相應的圓柱和體積,因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準確和”的方法來進行。
步驟:
第一步:分割
 如圖:把半球的垂直于底面的半徑oa作n等分,過這些等分點,用一組平行于底面的平面把半球切割成n個“小圓片”,“小圓片”厚度近似為 ,底面是“小圓片”的底面。
如圖:


第二步:求和
 
第三步:化為準確的和
  當n→∞時,  →0  (同學們討論得出)
所以   
得到定理:半徑是r的球的體積 
練習:一種空心鋼球的質量是142g,外徑是5cm,求它的內徑(鋼的密度是7.9g/cm3)
2.球的表面積:
球的表面積是球的表面大小的度量,它也是球半徑r的函數,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推導圓柱、圓錐的表面積公式那樣推導球的表面積公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和轉化為準確和”方法推導。
思考:推導過程是以什么量作為等量變換的?
      半徑為r的球的表面積為    s=4πr2
     練習:長方體的一個頂點上三條棱長分別為3、4、5,是它的八個頂點都在同一球面上,則這個球的表面積是           。 (答案50元)

(三)體積公式的實際應用:
例①:一種空心鋼球的質量是142g,外徑是5.0cm,求它的內徑. (鋼密度7.9g/cm3)

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