神奇的莫比烏斯帶
縣官知道執事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機報復。一日，又拿了一張紙條，要執事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環上一劃，又拆開兩端，只見紙條正反面均涂上黑色。縣官的毒計又落空了。
現實可能根本不會發生這樣的故事，但是這兩個故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點。
三、奇妙的莫比烏斯帶
左圖所示的帶子是由一張紙條的兩端粘接而成。紙的一面稱為帶的內側，而紙的另一面則稱為帶的外側。我們把這樣的曲面叫做“雙側曲面”。如果一只蜘蛛想沿著紙帶從外側爬到內側，那么它非得設法跨越帶的邊緣不可.
右面這張圖所示的是莫比烏斯帶，它也是由一張紙條兩端粘接而成，不過，在粘接前一端扭轉了180°。現在，所得的紙帶已不再具有兩面，它只有一個面，一條邊，這樣的曲面我們就叫它“單側曲面”。設想一只蜘蛛開始沿著莫比烏斯帶爬，那么它能夠爬遍整條帶子而無須跨越帶的邊緣。要證實這一點，只要拿一支鉛筆，筆不離紙連續地畫線.那么，你將會經過整條的帶子，并返回你原先的起點.
莫比烏斯帶的另一個有趣的性質，只要你沿著如下圖所示的帶子中央的虛線剪開把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟然是一個大圈兒。
如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙圈。
有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結罷了。
同學們如果感興趣，可以將紙條四等分、五等分……，做成莫比烏斯帶，剪剪看會出現什么結果。
四、克萊因瓶
莫比烏代很神奇，但是，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數學家費力克斯•克萊茵（felix klein，1849～1925），終于找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，以他的名字命名的著名“瓶子”—— “克萊因瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由一對麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。
這是一個象球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然后似乎是穿過了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面。
我們可以說一個球有兩個面——外面和內面，如果一只螞蟻在一個球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個洞，就無法爬到內表面上去。輪胎面也是一樣，有內外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內”去——事實上克萊因瓶并無內外之分！