下學期 4.10 正切函數的圖象和性質（通用2篇）
下學期 4.10 正切函數的圖象和性質 篇1
4.10 正切函數的圖象和性質
第二課時
（一）教學具準備
投影儀
（二）教學目標
運用正切函數圖像及性質解決問題.
（三）教學過程
1.設置情境
本節課，我們將綜合應用正切函數的性質，討論泛正切函數的性質.
2.探索研究
（1）復習引入
師：上節課我們學習了正切函數的作圖及性質，下面請同學們復述一下正切函數 的主要性質
生：正切函數 ，定義域為 ；值域為 ；周期為 ；單調遞增區間 ， .
（2）例題分析
【例1】判斷下列函數的奇偶性：
（1） ； （2） ；
分析：根據函數的奇偶性定義及負角的誘導公式進行判斷.
解：（1）∵ 的定義域為 關于原點對稱.
∴ 為偶函數
（2）∵ 的定義域為 關于原點對稱，且 且 ，
∴ 即不是奇函數又不是偶函數.
說明：函數具有奇、偶性的必要條件之一是定義域關于原點對稱，故難證 或 成立之前，要先判斷定義域是否關于原點對稱.
【例2】求下列函數的單調區間：
（1） ； （2） .
分析：利用復合函數的單調性求解.
解：（1）令 ，則
∵ 為增函數， 在 ， 上單調遞增，
∴ 在 ，即 上單調遞增.
（2）令 ，則
∵ 為減函數， 在 上單調遞增，
∴ 在 上單調遞減，即 在 上單調遞減.
【例3】求下列函數的周期：
（1） （2） .
分析：利用周期函數定義及正切函數最小正周期為 來解.
解：（1）
∴周期
（2）
∴周期
師：從上面兩例，你能得到函數 的周期嗎？
生：周期
【例4】有兩個函數 ， （其中 ），已知它們的周期之和為 ，且 ， ，求 、 、 的值.
解：∵ 的周期為 ， 的周期為 ，由已知 得
∴函數式為 ， ，由已知，得方程組
即 解得
∴ ， ，
［參考例題］求函數 的定義域.
解：所求自變量 必須滿足
（ ）
（ ）
故其定義域為
3.演練反饋（投影）
（1）下列函數中，同時滿足①在 上遞增；②以 為周期；③是奇函數的是（ ）
A. B. C. D.
（2）作出函數 ，且 的簡圖.
（3）函數 的圖像被平行直線_______隔開，與 軸交點的橫坐標是__________，與 軸交點的縱坐標是_________，周期________，定義域__________，它的奇偶性是_____________.
參考答案：（1）C.
（2）
如圖
（3） （ ）； ，（ ）；1； ； ；非奇非偶函數.
4.總結提煉
（1） 的周期公式 ，它沒有極值，正切函數在定義域上不具有單調性（非增函數），了不存在減區間.
（2）求復合函數 的單調區間，應首先把 、 變換為正值，再用復合函數的單調性判斷法則求解.
（四）板書設計
課題——
例1
例2
例3
例4
［參考例題］
演練反饋
總結提煉
下學期 4.10 正切函數的圖象和性質 篇2
4.10 正切函數的圖象和性質
第一課時
（一）教學具準備
直尺、投影儀.
（二）教學目標
1.會用“正切線”和“單移法”作函數 的簡圖.
2.掌握正切函數的性質及其應用.
（三）教學過程
1.設置情境
正切函數是區別于正弦函數的又一三角函數，它與正弦函數的最大區別是定義域的不連續性，為了更好研究其性質，我們首先討論 的作圖.
2.探索研究
師：請同學們回憶一下，我們是怎樣利用單位圓中的正弦線作出 圖像的.
生：在單位圓上取終邊為 （弧度）的角，作出其正弦線 ，設 ，在直角坐標系下作點 ，則點 即為 圖像上一點.
師：這位同學講得非常好，本節課我們也將利用單位圓中的正切線來繪制 圖像.
（1）用正切線作正切函數圖像
師：首先我們分析一下正切函數 是否為周期函數？
生：∵
∴ 是周期函數， 是它的一個周期.
師：對，我們還可以證明， 是它的最小正周期.類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數在一個周期上的圖像，下面我們利用正切線畫出函數 ， 的圖像.
作法如下：①作直角坐標系，并在直角坐標系 軸左側作單位圓.
②把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線.
③找橫坐標（把 軸上 到 這一段分成8等份）.
④找縱坐標，正切線平移.
⑤連線.
圖1
根據正切函數的周期性，我們可以把上述圖像向左、右擴展，得到正切函數 ， 且 （ ）的圖像，并把它叫做正切曲線（如圖1）.
圖2
（2）正切函數的性質
請同學們結合正切函數圖像研究正切函數的性質：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性.
①定義域：
②值域
由正切曲線可以看出，當 小于 （ ）且無限親近于 時， 無限增大，即可以比任意給定的正數大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于正無窮大）；當 大于 且無限接近于 ， 無限減小，即取負值且它的絕對值可以比任意給定的正數大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于負無窮大）.這就是說， 可以取任何實數值，但沒有最大值、最小值.
因此，正切函數的值域是實數集 .
③周期性
正切函數是周期函數，周期是 .
④奇偶性
∵ ，∴正切函數是奇函數，正切曲線關于原點 對稱.
⑤單調性
由正切曲線圖像可知：正切函數在開區間（ ， ）， 內都是增函數.
（3）例題分析
【例1】求函數 的定義域.
解：令 ，那么函數 的定義域是
由 ，可得
所以函數 的定義域是
【例2】不通過求值，比較下列各組中兩個正切函數值的大小：
（1） 與 ；
（2） 與 .
解：（1）∵
又 ∵ ，在 上是增函數
∴
（2）∵
又 ∵ ，函數 ， 是增函數，
∴ 即 .
說明：比較兩個正切型實數的大小，關鍵是把相應的角誘導到 的同一單調區間內，利用 的單調遞增性來解決.
3.演練反饋（投影）
（1）直線 （ 為常數）與正切曲線 （ 為常數且 ）相交的相鄰兩點間的距離是（ ）
A. B. C. D.與 值有關
（2） 是 的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
（3）根據三角函數的圖像寫出下列不等式成立的角 集合
① ②
參考答案：
（1）C.注： 與 相鄰兩點之間距離即為周期長
（2）D.注：由 ，但 ，反之 ，但
（3）①
②
4.總結提煉
（1） 的作圖是利用平移正切線得到的，當我們獲得 上圖像后，再利用周期性把該段圖像向左右延伸、平移。
（2） 性質.
定義域
值域
周期
奇偶性
單調增區間
對稱中心
漸近線方程
奇函數
，
（四）板書設計
課題……
1.用正切線作正切函數圖像
2.正切函數的性質
例1
例2
演練反饋
總結提煉