概率統(tǒng)計的解題技巧
[解答提示]從兩部不同的長篇小說8本書的排列方法有 種,左邊4本恰好都屬于同一部小說的的排列方法有 種.所以, 將符合條件的長篇小說任意地排成一排,左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是 種.所以,填 .
例8.( XX年浙江卷)甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球,甲袋裝有2個紅球,2個白球;乙袋裝有2個紅球,n個白球.由甲,乙兩袋中各任取2個球.
(ⅰ)若n=3,求取到的4個球全是紅球的概率;(ⅱ)若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為 ,求n.
[考查目的]本題主要考查排列組合、概率等基本知識,同時考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.
[標(biāo)準(zhǔn)解答](i)記"取到的4個球全是紅球"為事件 .
(ii)記"取到的4個球至多有1個紅球"為事件 ,"取到的4個球只有1個紅球"為事件 ,"取到的4個球全是白球"為事件 .
由題意,得
所以, ,
化簡,得 解得 ,或 (舍去),
故 .
例9. (XX年全國i卷文)
某商場經(jīng)銷某商品,顧客可采用一次性付款或分期付款購買.根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用一次性付款的概率是0.6,經(jīng)銷一件該商品,若顧客采用一次性付款,商場獲得利潤200元;若顧客采用分期付款,商場獲得利潤250元.
(ⅰ)求3位購買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率;
(ⅱ)求3位顧客每人購買1件該商品,商場獲得利潤不超過650元的概率.
[考查目的]本小題主要考查相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗等的概率計算,運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,以及推理與運算能力.
[解答過程](ⅰ)記 表示事件:" 位顧客中至少 位采用一次性付款",則 表示事件:" 位顧客中無人采用一次性付款".
, .
(ⅱ)記 表示事件:" 位顧客每人購買 件該商品,商場獲得利潤不超過 元".
表示事件:"購買該商品的 位顧客中無人采用分期付款".
表示事件:"購買該商品的 位顧客中恰有 位采用分期付款".
則 .
, .
.
例10.(XX年北京卷)某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案.
方案一:考試三門課程,至少有兩門及格為考試通過;
方案二:在三門課程中,隨機選取兩門,這兩門都及格為考試通過.
假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是 ,且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.
(ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率;
(ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)
[考查目的] 本題主要考查互斥事件有一個發(fā)生的概率和對立事件的概率,以及不等式等基本知識,同時考查邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.
[標(biāo)準(zhǔn)解答]記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為a,b,c,
則p(a)=a,p(b)=b,p(c)=c.
(ⅰ) 應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率
p1=p(a·b· ) p( ·b·c) p(a· ·c) p(a·b·c)
=a×b×(1-c) (1-a)×b×c a×(1-b)×c a×b×c=ab bc ca-2abc.
應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率
p2= p(a·b) p(b·c) p(a·c)= ×(a×b b×c c×a)= (ab bc ca)
(ⅱ) p1- p2= ab bc ca-2abc- (ab bc ca)= ( ab bc ca-3abc)
≥ = .
∴p1≥p2
例11.(XX年陜西卷文)
某項選拔共有四輪考核,每輪設(shè)有一個問題,能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為 、 、 、 ,且各輪問題能否正確回答互不影響.