概率統計的解題技巧
(ⅰ)求該選手進入第四輪才被淘汰的概率;
(ⅱ)求該選手至多進入第三輪考核的概率. (注:本小題結果可用分數表示)
[考查目的]本小題主要考查相互獨立事件、獨立重復試驗的概率計算,運用數學知識解決問題的能力,以及推理與運算能力.
[解答過程](ⅰ)記"該選手能正確回答第 輪的問題"的事件為 ,則 , , , ,
該選手進入第四輪才被淘汰的概率 .
(ⅱ)該選手至多進入第三輪考核的概率
.
考點2離散型隨機變量的分布列
1.隨機變量及相關概念
①隨機試驗的結果可以用一個變量來表示,這樣的變量叫做隨機變量,常用希臘字母ξ、η等表示.
②隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
③隨機變量可以取某區間內的一切值,這樣的隨機變量叫做連續型隨機變量.
2.離散型隨機變量的分布列
①離散型隨機變量的分布列的概念和性質
一般地,設離散型隨機變量 可能取的值為 , ,……, ,……, 取每一個值 ( 1,2,……)的概率p( )= ,則稱下表.
…
…
p p1 p2 …
…
為隨機變量 的概率分布,簡稱 的分布列.
由概率的性質可知,任一離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質:
(1) , 1,2,…;(2) …=1.
②常見的離散型隨機變量的分布列:
(1)二項分布
次獨立重復試驗中,事件a發生的次數 是一個隨機變量,其所有可能的取值為0,1,2,…n,并且 ,其中 , ,隨機變量 的分布列如下:
0 1 …
… p
…
稱這樣隨機變量 服從二項分布,記作 ,其中 、 為參數,并記: .
(2) 幾何分布
在獨立重復試驗中,某事件第一次發生時所作的試驗的次數 是一個取值為正整數的離散型隨機變量," "表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發生.
隨機變量 的概率分布為:
1 2 3 … k …
p p qp
…
…
例12.(XX年四川卷理)
廠家在產品出廠前,需對產品做檢驗,廠家將一批產品發給商家時,商家按合同規定也需隨機抽取一定數量的產品做檢驗,以決定是否接收這批產品.
(ⅰ)若廠家庫房中的每件產品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進行檢驗,求至少有1件是合格的概率;
(ⅱ)若廠家發給商家20件產品中,其中有3件不合格,按合同規定該商家從中任取2件.都進行檢驗,只有2件都合格時才接收這批產品.否則拒收,求出該商家檢驗出不合格產品數 的分布列及期望 ,并求出該商家拒收這批產品的概率.
& [解答過程](ⅰ)記"廠家任取4件產品檢驗,其中至少有1件是合格品"為事件a
用對立事件a來算,有
(ⅱ) 可能的取值為 .
,
,
.
記"商家任取2件產品檢驗,都合格"為事件b,則商家拒收這批產品的概率
.
所以商家拒收這批產品的概率為 .
例13.(XX年陜西卷理)
某項選拔共有三輪考核,每輪設有一個問題,能正確回答問題者進入下一輪考核,否則即被淘汰. 已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為 、 、 ,且各輪問題能否正確回答互不影響.
(ⅰ)求該選手被淘汰的概率;
(ⅱ)該選手在選拔中回答問題的個數記為 ,求隨機變量 的分布列與數學期望.
(注:本小題結果可用分數表示)