概率統計的解題技巧
[考查目的]本題考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算,考察隨機事件的分布列,數學期望等,考察運用所學知識與方法解決實際問題的能力.
[解答過程]解法一:(ⅰ)記"該選手能正確回答第 輪的問題"的事件為 ,則 , , ,
該選手被淘汰的概率
.
(ⅱ) 的可能值為 , ,
,
.
的分布列為
1 2 3
.
解法二:(ⅰ)記"該選手能正確回答第 輪的問題"的事件為 ,則 , , .
該選手被淘汰的概率 .
(ⅱ)同解法一.
考點3 離散型隨機變量的期望與方差
隨機變量的數學期望和方差
(1)離散型隨機變量的數學期望: …;期望反映隨機變量取值的平均水平.
⑵離散型隨機變量的方差: … …;
方差反映隨機變量取值的穩定與波動,集中與離散的程度.
⑶基本性質: ; .
(4)若 ~b(n,p),則 ; d =npq(這里q=1-p) ;
如果隨機變量 服從幾何分布, ,則 ,d = 其中q=1-p.
例14.甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數相等,所得次品數分別為ε、η,ε和η的分布列如下:
ε 0 1 2 η 0 1 2
p
p
則比較兩名工人的技術水平的高低為 .
思路啟迪:一是要比較兩名工人在加工零件數相等的條件下出次品數的平均值,即期望;二是要看出次品數的波動情況,即方差值的大小.
解答過程:工人甲生產出次品數ε的期望和方差分別為:
,
;
工人乙生產出次品數η的期望和方差分別為:
,
由eε=eη知,兩人出次品的平均數相同,技術水平相當,但dε>dη,可見乙的技術比較穩定.
小結:期望反映隨機變量取值的平均水平;方差反映隨機變量取值的穩定與波動,集中與離散的程度.
例15.(XX年全國i理)
某商場經銷某商品,根據以往資料統計,顧客采用的付款期數 的分布列為
1 2 3 4 5
0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商場經銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元. 表示經銷一件該商品的利潤.
(ⅰ)求事件 :"購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款"的概率 ;
(ⅱ)求 的分布列及期望 .
[考查目的] 本小題主要考查概率和離散型隨機變量分布列和數學期望等知識.考查運用概率知識解決實際問題的能力.
[解答過程](ⅰ)由 表示事件"購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款".
知 表示事件"購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款"
, .
(ⅱ) 的可能取值為 元, 元, 元.
,
,
.
的分布列為
(元).
小結:離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.本題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念,考查運用概率知識解決實際問題的能力.
例16.某班有48名學生,在一次考試中統計出平均分為70分,方差為75,后來發現有2名同學的成績有誤,甲實得80分卻記為50分,乙實得70分卻記為100分,更正后平均分和方差分別是
a.70,25 b.70,50 c.70,1.04 d.65,25
解答過程:易得 沒有改變, =70,
而s2= [(x12 x22 … 502 1002 … x482)-48 2]=75,
s′2= [(x12 x22 … 802 702 … x482)-48 2]
= [(75×48 48 2-12500 11300)-48 2]