概率統(tǒng)計(jì)的解題技巧
③曲線的對稱軸位置由μ確定;曲線的形狀由 確定, 越大,曲線越"矮胖";反之越"高瘦".
(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
當(dāng) =0, =1時(shí) 服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布,記作 (0,1)
(5)兩個(gè)重要的公式
① ,② .
(6) 與 二者聯(lián)系.
① 若 ,則 ;
②若 ,則 .
2.線性回歸
簡單的說,線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.
變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型:確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個(gè)變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.
具體說來,對n個(gè)樣本數(shù)據(jù)( ),( ),…,( ),其回歸直線方程,或經(jīng)驗(yàn)公式為: .其中 ,其中 分別為| |、| |的平均數(shù).
例20.如果隨機(jī)變量ξ~n(μ,σ2),且eξ=3,dξ=1,則p(-1<ξ≤1=等于( )
a.2φ(1)-1 b.φ(4)-φ(2)
c.φ(2)-φ(4) d.φ(-4)-φ(-2)
解答過程:對正態(tài)分布,μ=eξ=3,σ2=dξ=1,故p(-1<ξ≤1)=φ(1-3)-φ(-1-3)=φ(-2)-φ(-4)=φ(4)-φ(2).
答案:b
例21. 將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi),調(diào)節(jié)器設(shè)定在d ℃,液體的溫度ξ(單位:℃)是一個(gè)隨機(jī)變量,且ξ~n(d,0.52).
(1)若d=90°,則ξ<89的概率為 ;
(2)若要保持液體的溫度至少為80 ℃的概率不低于0.99,則d至少是 ?(其中若η~n(0,1),則φ(2)=p(η<2)=0.9772,φ(-2.327)=p(η<-2.327)=0.01).
思路啟迪:(1)要求p(ξ<89)=f(89),
∵ξ~n(d,0.5)不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,而給出的是φ(2),φ(-2.327),故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.
(2)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p,再利用p≥0.99,解d.
解答過程:(1)p(ξ<89)=f(89)=φ( )=φ(-2)=1-φ(2)=1-0.9772=0.0228.
(2)由已知d滿足0.99≤p(ξ≥80),
即1-p(ξ<80)≥1-0.01,∴p(ξ<80)≤0.01.
∴φ( )≤0.01=φ(-2.327).
∴ ≤-2.327.
∴d≤81.1635.
故d至少為81.1635.
小結(jié):(1)若ξ~n(0,1),則η= ~n(0,1).(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù),x<0時(shí),f(x)為增函數(shù),x>0時(shí),f(x)為減函數(shù).
例22.設(shè) ,且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為: ,x∈r.
(1)則μ,σ是 ;(2)則 及 的值是 .
思路啟迪: 根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,對照已知函數(shù)求出μ和σ.利用一般正態(tài)總體 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體n(0,1)概率間的關(guān)系,將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來解決.
解答過程:⑴由于 ,根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式,可知μ=1, ,故x~n(1,2).
.
又
.
小結(jié):通過本例可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).
例23. 公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的,如果某地成年男子的身高ε~n(173,7)(單位:cm),則車門應(yīng)設(shè)計(jì)的高度是 (精確到1cm)?
思路啟迪:由題意可知,求的是車門的最低高度,可設(shè)其為xcm,使其總體在不低于x的概率小于1%.
解答過程:設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm,由題意,需使p(ε≥x)<1%.
∵ε~n(173,7),∴ 。查表得 ,解得x>179.16,即公共汽車門的高度至少應(yīng)設(shè)計(jì)為180cm,可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.