3.4實際問題與一元一次方程
【本講教育信息】
一. 教學內容：1. 體會數學建模思想. 2. 進一步探究如何用一元一次方程解決實際問題. 二. 知識要點：1. 數學建模這里所講的數學建模是利用數學方法（一元一次方程）解決實際問題的一種實踐. 即通過抽象、簡化、假設、引進變量等處理過程后，將實際問題用數學方式（一元一次方程）表達，建立起數學模型，然后運用數學方法進行求解. 建立數學模型的這個過程就稱為數學建模. 2. 用一元一次方程解決實際問題的幾個注意事項（1）先弄清題意，找出相等關系，再按照相等關系來選擇未知數和列代數式，比先設未知數，再找出含有未知數的代數式，再找相等關系更為合理. （2）所列方程兩邊的代數式的意義必須一致，單位要統一，數量關系一定要相等. （3）要養成“驗”的好習慣，即所求結果要使實際問題有意義. （4）不要漏寫“答”、“設”和“答”都不要丟掉單位名稱. （5）分析過程可以只寫在草稿紙上，但一定要認真. 三. 重點難點：1. 重點：進一步體現一元一次方程與實際的密切聯系，滲透數學建模思想，培養運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力. 2. 難點：本講問題的背景和表達都比較貼近實際，其中有些數量關系比較隱蔽，所以在探究過程中正確地列方程是主要難點. 突破難點的關鍵是弄清問題背景，分析清楚有關數量關系，特別是找出可以作為列方程依據的主要相等關系. 【典型例題】例1. 墻上釘著一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖中實線所示. 小明將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個長方形，如圖中虛線所示. 小明所釘長方形的長、寬各為多少厘米？
分析：飾物形狀變化前后有兩個不變的量，一個是周長，另一個是變化前梯形的上底和變化后長方形的寬. 根據題意可設長方形的長為x，則長方形的周長為2x＋2×10，梯形的周長為10＋10＋10＋6＋10＋6＝52. 則2x＋20＝52，從而解得x＝16. 解：設小明所釘長方形的長為x，根據題意得：2x＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10整理得，2x＋20＝52解得，x＝16由于飾物變化前后長度為10的邊沒有變化，所以長方形的一邊長為10厘米. 答：長方形的長為16厘米，寬為10厘米. 評析：圖形變化問題的等量關系往往是變化前后的周長相等、面積相等、體積相等. 例2. 一批貨物，甲把原價降低10元賣出，用售價的10%做積累，乙把原價降低20元，用售價的20%做積累，若兩種積累一樣多，則這批貨物的原售價是多少？ 分析：設這批貨物的原售價為x元，則甲的積累是（x－10）×10%元，乙的積累是（x－20）×20%，相等關系是：甲的積累＝乙的積累. 解：設這批貨物的原售價為x元，根據題意得：（x－10）×10%＝（x－20）×20%化簡得：x－10＝2（x－20）即x－10＝2x－40解得x＝30答：這批貨物的原售價為30元. 評析：這個問題的相等關系比較簡單，難點是對兩個百分數的處理. 例3. （XX年廣東湛江）某足球比賽的計分規則為勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分. 一個隊踢14場球負5場共得19分，問這個隊勝了幾場？