平面向量
4.向量的數量積的幾何意義：
數量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.
5.兩個向量的數量積的性質：
設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.
1 ea = ae =|a|cos
2 ab ab = 0
3 當a與b同向時，ab = |a||b|；當a與b反向時，ab = |a||b|. 特別的aa = |a|2或
4 cos =
5 |ab| ≤ |a||b|
三、講解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求a•b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)•(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直.
例4 判斷正誤，并簡要說明理由.
①a•0＝0；②0•a＝0；③0－ ＝ ；④｜a•b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，則對任一非零b有a•b≠0；⑥a•b＝0，則a與b中至少有一個為0；⑦對任意向量a，b，с都有（a•b）с＝a（b•с）；⑧a與b是兩個單位向量，則a2＝b2.
解：上述8個命題中只有③⑧正確；
對于①：兩個向量的數量積是一個實數，應有0•a＝0；對于②：應有0•a＝0；
對于④：由數量積定義有｜a•b｜＝｜a｜•｜b｜•｜cosθ｜≤｜a｜｜b｜，這里θ是a與b的夾角，只有θ＝0或θ＝π時，才有｜a•b｜＝｜a｜•｜b｜；
對于⑤：若非零向量a、b垂直，有a•b＝0；
對于⑥：由a•b＝0可知a⊥b可以都非零；
對于⑦：若a與с共線，記a＝λс.
則a•b＝（λс）•b＝λ（с•b）＝λ（b•с），
∴（a•b）•с＝λ（b•с）с＝（b•с）λс＝（b•с）a
若a與с不共線，則(a•b)с≠（b•с）a.
評述：這一類型題，要求學生確實把握好數量積的定義、性質、運算律.
例6 已知｜a｜＝3，｜b｜＝6，當①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時，分別求a•b.
解：①當a∥b時，若a與b同向，則它們的夾角θ＝0°，
∴a•b＝｜a｜•｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；
若a與b反向，則它們的夾角θ＝180°，
∴a•b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②當a⊥b時，它們的夾角θ＝90°，
∴a•b＝0；
③當a與b的夾角是60°時，有
a•b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6× ＝9
評述：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其范圍是［0°，180°］，因此，當a∥b時，有0°或180°兩種可能.
四、課堂練習：
1.已知|a|=1，|b|= ，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）
a.60° b.30° c.135° d.45°
2.已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為 ，那么向量m=a-4b的模為（ ）