平面向量
教學過程：
一、復習引入：
1.兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量a與b，作 ＝a， ＝b，則∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫a與b的夾角.
2.平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cos叫a與b的數量積，記作ab，即有ab = |a||b|cos，
（0≤θ≤π）.并規定0與任何向量的數量積為0.
3.向量的數量積的幾何意義：
數量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.
4.兩個向量的數量積的性質：
設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 當a與b同向時，ab = |a||b|；當a與b反向時，ab = |a||b|. 特別的aa = |a|2或
4 cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
5.平面向量數量積的運算律
交換律：a b = b a
數乘結合律：( a)b = (ab) = a( b)
分配律：(a + b)c = ac + bc
二、講解新課：
⒈ 平面兩向量數量積的坐標表示
已知兩個非零向量 ， ，試用 和 的坐標表示 .
設 是 軸上的單位向量， 是 軸上的單位向量，那么 ，
所以
又 ， ， ，所以
這就是說：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.即
2. 平面內兩點間的距離公式
八、 設 ，則 或 .
（2）如果表示向量 的有向線段的起點和終點的坐標分別為 、 ，那么 (平面內兩點間的距離公式)
九、 向量垂直的判定
設 ， ，則
十、 兩向量夾角的余弦（ ）
cos =
十一、 講解范例：
十二、 設a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a•b及a、b間的夾角θ(精確到1o)
例2 已知a(1， 2)，b(2， 3)，c(2， 5)，試判斷△abc的形狀，并給出證明.
例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求滿足xa = 9與xb = 4的向量x.
解：設x = (t， s)，
由 ∴x = (2， 3)
例4 已知a＝（1， ），b＝（ ＋1， －1），則a與b的夾角是多少?
分析：為求a與b夾角，需先求a•b及｜a｜•｜b｜，再結合夾角θ的范圍確定其值.
解：由a＝（1， ），b＝（ ＋1， －1）
有a•b＝ ＋1＋ （ －1）＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝2 .
記a與b的夾角為θ，則cosθ＝
又∵0≤θ≤π，∴θ＝
評述：已知三角形函數值求角時，應注重角的范圍的確定.
例5 如圖，以原點和a(5， 2)為頂點作等腰直角△oab，使b = 90，求點b和向量 的坐標.
解：設b點坐標(x， y)，則 = (x， y)， = (x5， y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵| | = | | ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29